Ανέλεγκτη καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανέλεγκτη καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:18 am

Ανέλεγκτη  καθετότητα.png
Ανέλεγκτη καθετότητα.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
Το τρίγωνο ABC , έχει πλευρές : AB=7 , BC=17 , CA=13 . Φέρω τις διαμέσους AM , CN

και τις διχοτόμους των γωνιών \widehat{BAM} , \widehat{BCN} , οι οποίες τέμνονται στο S . Δείξτε ότι : \hat{S}=90^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 10:08 am

Καλημέρα!
Από θεώρημα διαμέσων είναι:
AM^2=(2AC^2+2AB^2-BC^2)\frac{1}{4}=\dfrac{147}{4}
Έστω G το βαρύκεντρο του ABC
Τότε AG\cdot AM=AM^2\cdot\frac{2}{3}=\frac{147}{4}\frac{2}{3}
=\dfrac{49}{2}=AN \cdot AB
Έτσι NBMG: εγγράψιμο (1)
Αρκεί να δειχθεί ότι \angle SAC+\angle SCA=\angle SAB+\angle SBA+\angle B=90^{\circ}
\Leftrightarrow \angle GAC+\angle GCA=\angle B
Αλλά είναι λόγω της (1): \angle B=\angle AGN=\angle GAC+\angle GCA (εξωτερική γωνία τριγώνου)
Έτσι οι διχοτόμοι των γωνιών \angle BAM , \angle BCN τέμνονται κάθετα.


M\alpha \nu \acute{\omega} \lambda \eta \varsigma
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:22 am

Βλέπω ο εκπληκτικός :clap2: Μανώλης με πρόλαβε και με πιο όμορφη λύση .
Ανέλεγκτη καθετότητα.png
Ανέλεγκτη καθετότητα.png (21.78 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Θ διαμέσων:\left\{ \begin{gathered} 
  AM = \frac{{7\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ 
  CN = \frac{{17\sqrt 3 }}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Θ συνημίτονου στα \vartriangle ANC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABM: \left\{ \begin{gathered} 
  \cos \theta  = \frac{{40\sqrt 3 }}{{119}} \hfill \\ 
  \cos \omega  = \frac{{40\sqrt 3 }}{{119}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Αφού A > 90^\circ αναγκαστικά \theta ,\omega οξείες και άρα ίσες.( ή γιατί έχουν θετικά συνημίτονα).

Το τετράπλευρο BMTN είναι εγγράψιμο , οπότε AS \bot CS

( Γνωστή άσκηση έχει μπει και σε εισαγωγικές εξετάσεις προ πολλών ετών)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:13 pm

Η διαπίστωση της εγγραψιμότητας είναι όλα τα λεφτά . Για την απόδειξη της καθετότητας ( γνωστό λήμμα ) ,

δείτε και εδώ . Υπάρχουν κι άλλες σχετικές αναρτήσεις αλλά δεν μπόρεσα να τις βρω :oops:

Να που βρήκα , εκεί


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:35 pm

Η αρχική εκφώνηση της άσκησης , έδινε ότι για τις πλευρές a>b>c , ισχύει ότι : a^2+c^2=2b^2 .

Πράγματι εδώ είναι : 17^2+7^2=289+49=338=2\cdot169=2\cdot13^2 .

Αναφύεται λοιπόν το ερώτημα : Πως θα βρούμε τέτοιες - ακέραιες - τριάδες ;

Στο τέλος της κουβέντας ίσως σας πω , πως την βρήκα εγώ ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:56 pm

Αφού συγχαρώ κι εγώ τον Μανώλη :clap2: γράφω τη λύση μου χωρίς τη χρήση της εγγραψιμότητας.

Πειράζω την εκφώνηση και ορίζω το S ως το σημείο τομής της τρίτης διαμέσου BP με το ημικύκλιο διαμέτρου AC. Θα

δείξω ότι οι AS, BS είναι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle B\widehat AM,B\widehat CN αντίστοιχα. Με τους τύπους των διαμέσων βρίσκω:
Ανέλεγκτη καθετότητα.png
Ανέλεγκτη καθετότητα.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
\displaystyle BP = \frac{{13\sqrt 3 }}{2},AM = \frac{{7\sqrt 3 }}{2} και από το ορθογώνιο τρίγωνο ASC είναι SP=\dfrac{13}{2}. Λόγω του βαρύκεντρου

τώρα, είναι \displaystyle AG = \frac{{7\sqrt 3 }}{3},SG = SP - GP = \frac{{13}}{6}(3 - \sqrt 3 ) και \displaystyle BS = BP - SP = \frac{{13}}{4}(\sqrt 3  - 1).

\displaystyle \frac{{AB}}{{AG}} = \sqrt 3  = \frac{{BS}}{{SG}}, άρα η AS διχοτομεί τη γωνία B\widehat AM. Ομοίως και για την άλλη διχοτόμο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:05 pm

Ανέλεγκτη  καθετότητα.png
Ανέλεγκτη καθετότητα.png (27.68 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Αφού το ξεκινήσαμε ας βάλω κι ένα σχήμα με την απόδειξη της καθετότητας ( Μουρούκος )


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:28 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:13 pm
Η διαπίστωση της εγγραψιμότητας είναι όλα τα λεφτά . Για την απόδειξη της καθετότητας ( γνωστό λήμμα ) ,

δείτε και εδώ . Υπάρχουν κι άλλες σχετικές αναρτήσεις αλλά δεν μπόρεσα να τις βρω :oops:

Να που βρήκα , εκεί
Δεν σε καταλαβαίνω Θανάση. Βάζεις μία άσκηση και πριν καν περάσουν 3 ώρες, ρίχνεις τις παραπομπές. Στερείς

με αυτό τον τρόπο από τους λύτες την ευκαιρία να δώσουν μία λύση, που πιθανόν θα εκληφθεί ως αντιγραφή!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:34 pm

Στο παλιό βιβλίου ( έκδοση 1963 ) του Άγγελου Μ. Κούρκουλου , στα λυμένα του θέματα το υπ αριθμό 3 θέμα είναι η άσκηση

και γράφει ότι έχει δοθεί στους Μηχανολόγους μηχανικούς .

Υπάρχει προφανώς και στις νεότερες εκδόσεις του Βιβλίου.

Τον Άγγελο ( για όσους ήλθαν στο Ηράκλειο το καλοκαίρι του 2017 τον γνώρισαν) βράβευσε η Ε.Μ.Ε. .

Είναι ο άνθρωπος που με έκανε να αγαπήσω τη Γεωμετρία.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:38 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:28 pm
KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:13 pm
Δεν σε καταλαβαίνω Θανάση. Βάζεις μία άσκηση και πριν καν περάσουν 3 ώρες, ρίχνεις τις παραπομπές. Στερείς

με αυτό τον τρόπο από τους λύτες την ευκαιρία να δώσουν μία λύση, που πιθανόν θα εκληφθεί ως αντιγραφή!
Γιώργο , οι πληροφορίες που δίνω αφορούν αποκλειστικά στο λήμμα , που απέδειξε ήδη ο Μανώλης

και ανέφερε στην απόδειξή του ο Νίκος και δεν επηρεάζει πιθανές διαφορετικές λύσεις , όπως

η δική σου , η οποία επίσης είναι εξαιρετική :clap2:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:19 am

Μερικά τρίγωνα, \vartriangle ABC, με ακέραιες πλευρές με την ίδια ιδιότητα:

\left( {7,5,1} \right)\,\,,\,\,\left( {23,17,7} \right), \left( {31,25,17} \right),\left( {47,37,23} \right),\left( {49,41,31} \right),\left( {71,61,19} \right),\left( {79,65,47} \right)

Οι διάμεσοι AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN είναι τα ύψη ισόπλευρων τριγώνων πλευρών AB\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:29 am

Ωραία Νίκο ! Βέβαια το ( 7 , 5 , 1 ) το 'βαλες για πλάκα :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανέλεγκτη καθετότητα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:50 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:29 am
Ωραία Νίκο ! Βέβαια το ( 7 , 5 , 1 ) το 'βαλες για πλάκα :lol:
Ίσως είναι τρίγωνο υπερμετρικού χώρου Krasner που δεν ισχύει η τριγωνική ανισότητα :lol:
Τρίγωνα ανέλεγτης καθετότητας.png
Τρίγωνα ανέλεγτης καθετότητας.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες