Σταθερό σημείο και γωνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό σημείο και γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 20, 2020 7:23 pm

Σταθερότητα  σημείου και γωνία.png
Σταθερότητα σημείου και γωνία.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
Σε τρίγωνο ABC , θεωρούμε σημείο Q της AC , ώστε AQ=3QC . Σημείο S κινείται

στην BC και ας ονομάσουμε T την τομή των AS , BQ και P την τομή των AB,CT .

α) Δείξτε ότι η ευθεία PS διέρχεται από σταθερό σημείο , ας το πούμε M .

β) Αν : AD=3 , DC=4 , για ποια θέση του S , είναι : \widehat{ASP}=45^0 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5531
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό σημείο και γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Νοέμ 20, 2020 9:40 pm

Η απόκρυψη θα γίνει μετά από επόμενη διαπραγμάτευση:

α) Είναι το αρμονικό συζυγές M του Q ως προς τα C, A από το πλήρες τετράπλευρο BSTP.
β) είναι τομή της BC με τόξο που βλέπει τo MA με γωνία 135^{\circ }



edit: Άρση της απόκρυψης μετά την άριστη ανάρτηση του Νίκου.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερό σημείο και γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 21, 2020 3:12 am

α) Ας είναι το σημείο τομής των PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Θα δείξω ότι το M είναι το ζητούμενο .
Η ευθεία Pascal-Πάππου για τις τριάδες των σημείων : A,T,S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A,Q,C

διέρχεται από το A και τα σημεία L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Nπου τέμνονται τα ζεύγη των ευθειών:

\left( {TC,SQ} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {TM,SC} \right) αντίστοιχα.

Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_a.png
Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_a.png (33.86 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
Άμεση συνέπεια : Οι πολικές και του P αλλά και του B ταυτίζονται με την ευθεία \overline {ALN} . ( Κατασκευή πολικής )

Η ευθεία αυτή τέμνει την PM στο G και η τετράδα:

\,\,\left( {A,N\backslash L,G} \right) είναι αρμονική οπότε και η τετράδα \left( {A,C\backslash Q,M} \right) είναι αρμονική,

Αν λοιπόν θέσω CQ = k \Rightarrow AQ = 3k κι επειδή :

\boxed{\frac{{CQ}}{{CM}} = \frac{{AQ}}{{AM}} \Rightarrow \frac{k}{{CM}} = \frac{{3k}}{{4k + CM}}} \Rightarrow \boxed{CM = 2k} και άρα το M σταθερό .

β)
Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_b.png
Σταθερό σημείο και γωνία_oritzin_b.png (25 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές


Επιλέγω : \boxed{CS = CM = \dfrac{5}{2}}

\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DS}}{{SC}} = \dfrac{3}{4} και άρα η AS διχοτόμος του \vartriangle ADC. \tan 2\phi  = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \tan \phi  = \dfrac{1}{3}

\tan \theta  = \tan \left( {\omega  + \phi } \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{5}{5} = 1 \Rightarrow \boxed{\theta  = 45^\circ }

Το α ερώτημα πιθανόν να προκύπτει με Θ . Μενελάου και Θ. Ceva


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες