mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm**

: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ παραλληλογράμμου ABCD

τέμνει τις BC, CD

στα

αντίστοιχα.

Αν

είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF,

να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD

είναι εγγράψιμο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 19, 2020 12:01 am**

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ παραλληλογράμμου τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Ας είναι $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ οι τομές των $KF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF$ με την ευθεία

.

Προφανώς αν η μισή γωνία της $\widehat {BAD}$ είναι $\widehat {{\theta _{}}}$ θα είναι : $\widehat {{K_{}}} = \widehat {DCB} = \widehat {SBC} = 2\widehat {{\theta _{}}}$ .

Το τετράπλευρο KTBC

λοιπόν θα είναι εγγράψιμο.

Από την άλλη μεριά DF = DA = BC = BS

( δείτε ότι τα $\vartriangle KTS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BSC$ είναι ισογώνια άρα και τα δυο ισοσκελή )

: Εγγράψιμμο απο παραλληλόγραμμο.png (30.16 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Τώρα τα τρίγωνα : $SCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FTD$ έχουν: $SC = TS\,,\,SB = FD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{S_{}}} = \widehat {DFT}\,$

συνεπώς είναι ίσα οπότε και το $\vartriangle DET$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Άμεσες συνέπειες : το τετράπλευρο TBCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε και τα

πέντε σημεία : K,D,T,B,C

είναι ομοκυκλικά άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 19, 2020 1:45 am**

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ παραλληλογράμμου τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Επειδή

ΚΑΙ

περίκεντρο του $\triangle EFC$ θα είναι $KC \bot FE \Rightarrow \triangle QAP$ ισοσκελές

και συνεπώς όλες οι μπλε γωνίες είναι ίσες άρα KFDQ

εγγράψιμμο

Είναι, $BP=BC=AD=DF\Rightarrow DFPB$ παραλ/μμο $\Rightarrow DB=PF=FQ$ .

Επιπλέον , DF=BC

και

,οπότε $\triangle QDF= \triangle BDC \Rightarrow \angle DBC= \angle DFQ= \angle DKQ$ ,

άρα D,B,C,K

ομοκυκλικά

: εγγράψιμμο από παραλληλόγραμμο.png (42.27 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 19, 2020 8:22 am**

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ παραλληλογράμμου τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Καλημέρα
Τα τρίγωνα

ADF,FCE,ABE,

είναι ισόπλευρα ,γιατί

$\hat{DAF}=\hat{FAB}=\hat{}DFA=\hat{EFC}= \hat{FEC}=\hat{\omega },AD=DF=b,FC=CE=a-b,AB=a=BE$

Είναι

$KF=KC=KE,\hat{ABC}=2\hat{\phi },2\omega +2\phi =180^{0}\Leftrightarrow \omega +\phi =90^{0}, AB//ZE,AZ//EB,AB=AZ=a=BE$

αρα το τετράπλευρο AZEB

είναι ρόμβος , $ZB\perp AE,$

FK=KE,FC=CE

συνεπώς

είναι μεσοκάθετος στη

$FE,\hat{FCK}= \hat{KCE}=\phi ,ZB//KC$ ,

Θα αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα KCB,DFK

είναι ίσα . Πράγματι

$FK=KC,DF=b=BC,\hat{DFK}=\hat{KCB}=180^{0}-\phi$ Οπότε $\hat{KBC}=\hat{KDC}$

και το τετράπλευρο DKCB

είναι εγράψιμο σε κύκλο

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 19, 2020 10:49 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ παραλληλογράμμου τέμνει τις στα αντίστοιχα.
Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Ας έρθουμε και εμείς στη Άριστη παρέα.

Άμεσα διαπιστώνουμε οτι: DA=DF

και

Θεωρούμε τον κύκλο c:(D,DF)

και στην συνέχεια τον περιγεγραμμένο
στο ισοσκελές τραπέζιο CDQB

κύκλο

Έστω $Z = \left( {QF} \right) \cap \left( d \right).$

Τότε $\angle QDF = \angle FZC,\;\angle CFZ = \angle DFQ = \angle FQD \Rightarrow \angle CFZ = \angle ZCF \Rightarrow ZF = ZC.$

Επίσης $\displaystyle{\frac{{\angle FZC}}{2} = \frac{{\angle QDF}}{2} = \angle QAF = \angle DFA = \angle CFE = \angle CEF \Rightarrow Z \equiv K.}$