Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm

Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Η διχοτόμος της γωνίας \widehat A παραλληλογράμμου ABCD τέμνει τις BC, CD στα E, F αντίστοιχα.

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF, να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD είναι εγγράψιμο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 19, 2020 12:01 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας \widehat A παραλληλογράμμου ABCD τέμνει τις BC, CD στα E, F αντίστοιχα.

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF, να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD είναι εγγράψιμο.
Ας είναι T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S οι τομές των KF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF με την ευθεία AB.

Προφανώς αν η μισή γωνία της \widehat {BAD} είναι \widehat {{\theta _{}}} θα είναι : \widehat {{K_{}}} = \widehat {DCB} = \widehat {SBC} = 2\widehat {{\theta _{}}}.

Το τετράπλευρο KTBC λοιπόν θα είναι εγγράψιμο.

Από την άλλη μεριά DF = DA = BC = BS

( δείτε ότι τα \vartriangle KTS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BSC είναι ισογώνια άρα και τα δυο ισοσκελή )
Εγγράψιμμο απο παραλληλόγραμμο.png
Εγγράψιμμο απο παραλληλόγραμμο.png (30.16 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Τώρα τα τρίγωνα : SCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FTD έχουν: SC = TS\,,\,SB = FD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{S_{}}} = \widehat {DFT}\,

συνεπώς είναι ίσα οπότε και το \vartriangle DET είναι ισοσκελές με κορυφή το D.

Άμεσες συνέπειες : το τετράπλευρο TBCD είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε και τα

πέντε σημεία : K,D,T,B,C είναι ομοκυκλικά άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Νοέμ 19, 2020 1:45 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας \widehat A παραλληλογράμμου ABCD τέμνει τις BC, CD στα E, F αντίστοιχα.

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF, να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD είναι εγγράψιμο.

Επειδή CF=CE ΚΑΙ K περίκεντρο του \triangle EFC θα είναι KC \bot FE \Rightarrow  \triangle QAP ισοσκελές

και συνεπώς όλες οι μπλε γωνίες είναι ίσες άρα KFDQ εγγράψιμμο

Είναι,BP=BC=AD=DF\Rightarrow DFPB παραλ/μμο \Rightarrow DB=PF=FQ.

Επιπλέον ,DF=BC και DQ=DC ,οπότε \triangle QDF= \triangle BDC \Rightarrow  \angle DBC= \angle DFQ= \angle DKQ ,

άρα D,B,C,K ομοκυκλικά
εγγράψιμμο από παραλληλόγραμμο.png
εγγράψιμμο από παραλληλόγραμμο.png (42.27 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 19, 2020 8:22 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας \widehat A παραλληλογράμμου ABCD τέμνει τις BC, CD στα E, F αντίστοιχα.

Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF, να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD είναι εγγράψιμο.
Καλημέρα
Τα τρίγωνα

ADF,FCE,ABE, είναι ισόπλευρα ,γιατί

\hat{DAF}=\hat{FAB}=\hat{}DFA=\hat{EFC}=


     \hat{FEC}=\hat{\omega },AD=DF=b,FC=CE=a-b,AB=a=BE

Είναι

KF=KC=KE,\hat{ABC}=2\hat{\phi },2\omega +2\phi =180^{0}\Leftrightarrow \omega +\phi =90^{0}, 

AB//ZE,AZ//EB,AB=AZ=a=BE

αρα το τετράπλευρο AZEB είναι ρόμβος ,ZB\perp AE,



FK=KE,FC=CE συνεπώς KC είναι μεσοκάθετος στη

FE,\hat{FCK}=

\hat{KCE}=\phi ,ZB//KC,

Θα αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα KCB,DFK είναι ίσα . Πράγματι

FK=KC,DF=b=BC,\hat{DFK}=\hat{KCB}=180^{0}-\phi Οπότε \hat{KBC}=\hat{KDC}

και το τετράπλευρο DKCB είναι εγράψιμο σε κύκλο
Συνημμένα
Εγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Εγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png (148.79 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5619
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Νοέμ 19, 2020 10:49 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Νοέμ 18, 2020 5:47 pm
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.png
Η διχοτόμος της γωνίας \widehat A παραλληλογράμμου ABCD τέμνει τις BC, CD στα E, F αντίστοιχα.
Αν K είναι το περίκεντρο του τριγώνου CEF, να δείξετε ότι το τετράπλευρο BCKD είναι εγγράψιμο.
Ας έρθουμε και εμείς στη Άριστη παρέα.

Άμεσα διαπιστώνουμε οτι: DA=DF και CE=CF. Θεωρούμε τον κύκλο c:(D,DF) και στην συνέχεια τον περιγεγραμμένο
στο ισοσκελές τραπέζιο CDQB κύκλο d. Έστω Z = \left( {QF} \right) \cap \left( d \right).

Τότε \angle QDF = \angle FZC,\;\angle CFZ = \angle DFQ = \angle FQD \Rightarrow \angle CFZ = \angle ZCF \Rightarrow ZF = ZC.

Επίσης \displaystyle{\frac{{\angle FZC}}{2} = \frac{{\angle QDF}}{2} = \angle QAF = \angle DFA = \angle CFE = \angle CEF \Rightarrow Z \equiv K.}
κατ. απ..png
κατ. απ..png (87.76 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 23, 2020 6:48 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις πολύ ωραίες λύσεις. Δίνω κάτι παρόμοιο.
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.ΙΙ.png
Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.ΙΙ.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Είναι, \displaystyle DC = AB = BE,KC = KE και \displaystyle K\widehat EC = K\widehat CE = K\widehat CD, άρα τα τρίγωνα

KDC, KBE είναι ίσα, δηλαδή K\widehat DC=K\widehat BE που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης