Μέγιστο εμβαδόν 28

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 28

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 01, 2020 12:30 pm

Μέγιστο εμβαδόν  28.png
Μέγιστο εμβαδόν 28.png (7.12 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει μεταβλητές κάθετες πλευρές αλλά σταθερή υποτείνουσα : BC=a .

Φέρουμε το ύψος AD και την διάμεσο AM . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ADM .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 28

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 01, 2020 4:08 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 01, 2020 12:30 pm
Μέγιστο εμβαδόν 28.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει μεταβλητές κάθετες πλευρές αλλά σταθερή υποτείνουσα : BC=a .

Φέρουμε το ύψος AD και την διάμεσο AM . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ADM .
Θέτω BD=x.
Μέγιστο εμβαδόν.28.png
Μέγιστο εμβαδόν.28.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
\displaystyle A{D^2} = {b^2} - {x^2} = ax - {x^2} \Leftrightarrow AD = \sqrt {ax - {x^2}} και \displaystyle DM = \left| {\frac{a}{2} - x} \right| = \frac{{\left| {a - 2x} \right|}}{2}.

\displaystyle (ADM) = \frac{{AD \cdot DM}}{2} \Leftrightarrow \boxed{(ADM) = f(x) = \frac{{|a - 2x|\sqrt {ax - {x^2}} }}{4},x \in \left( {0,\frac{a}{2}} \right)\cup \left( {\frac{a}{2},a} \right)}

Διακρίνοντας περιπτώσεις για \displaystyle x \in \left( {0,\frac{a}{2}} \right) και \displaystyle x \in   \left( {\frac{a}{2},a} \right) (καθόσον b>c ή b<c),

βρίσκω με παραγώγους μέγιστη τιμή \boxed{ {(ADM)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{{16}}} για \boxed{ x = \frac{a}{4}\left( {2 \pm \sqrt 2 } \right)}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 28

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 01, 2020 4:39 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 01, 2020 12:30 pm
Μέγιστο εμβαδόν 28.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει μεταβλητές κάθετες πλευρές αλλά σταθερή υποτείνουσα : BC=a .

Φέρουμε το ύψος AD και την διάμεσο AM . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ADM .
2(ADM)=DN . AM=DN .  \dfrac{a}{2} .Άρα το  (DAM) παίρνει την μέγιστη τιμή του όταν το DN γίνει μέγιστο.

Στο ημικύκλιο σταθερής διαμέτρου \dfrac{a}{2} , DN=max όταν N μέσον της AM και τότε

2 (ADM)_{max} = \dfrac{a}{2}  .  \dfrac{a}{4}  \Rightarrow  (ADM)_{max}= \frac{a^2}{16}
Μέγιστο εμβαδόν 28.png
Μέγιστο εμβαδόν 28.png (26.62 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7978
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 28

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 01, 2020 8:37 pm

μέγιστο εμβαδόν 28.png
μέγιστο εμβαδόν 28.png (13.93 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Ας είναι DM = x\,\,,\,\,DA = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {CMA} = \theta . ( οξεία γωνία)

Αφού το A ανήκει στο ημικύκλιο σταθερής ακτίνας , \boxed{R = \frac{a}{2}} θα έχω:

\boxed{E = \left( {AMD} \right) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}{R^2}\sin \theta \cos \theta  = \frac{1}{{16}}{a^2}\sin 2\theta }

και γίνεται μέγιστο όταν \theta  = 45^\circ δηλαδή \vartriangle DAM είναι ισοσκελές ορθογώνιο.

Προφανώς \boxed{{E_{\max }} = \frac{1}{{16}}{a^2}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 174
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν 28

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Νοέμ 02, 2020 12:51 pm

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& (ADM)_{max} \rightarrow \cr 
& (AD \cdot DM)_{max} \rightarrow \cr 
& (2AD \cdot 2DM)_{max} \rightarrow \cr 
& (AKNL)_{max}  \cr 
\end{aligned} 
}

Αλλά AKNL γίνεται μέγιστο όταν το AKNL είναι τετράγωνο. Τότε

\displaystyle{ 
FE=EM={a\sqrt{2} \over 4} \ \ \ και \ \ \ (ADM) = {a^2 \over 16} 
}
Συνημμένα
megisto28.png
megisto28.png (39.77 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης