Ιδιόμορφη κατασκευή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7536
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ιδιόμορφη κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 25, 2020 10:01 pm

Ιδιόμορφη κατασκευή.png
Ιδιόμορφη κατασκευή.png (77.45 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Να κατασκευαστεί , γεωμετρικά , τρίγωνο ABC για το οποίο γνωρίζουμε :

AB = 2\sqrt 2 \,\,,\,\,AC = 2 και αν το σημείο D χωρίζει το BC σε λόγο: \dfrac{{DB}}{{DC}} = 2 να είναι

\widehat {DAC} = 30^\circ


Για τους μαθητές μόνο να υπολογίσουν το BC



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5530
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Οκτ 25, 2020 11:00 pm

ΜΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ:

Θεωρούμε σαν βάση το ευθύγραμμο τμήμα AC. Θεωρούμε γωνίες \angle CAx = {30^ \circ },\;\angle ACy = {90^ \circ }, προς το ίδιο μέρος. Αν E = \left\{ {AD} \right\} \cap \left\{ {CE} \right\}, και στην προέκταση της ημιευθείας CE σημείο L τέτοιο πού \displaystyle{\frac{{CE}}{{EL}} = \frac{1}{2}.} Από το L θεωρούμε την παράλληλη στην AD και τον κύκλο (A,AB). Η τομή τους δίνει το σημείο B.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Οκτ 25, 2020 11:13 pm

Από το γενικευμένο θεώρημα των διχοτόμων είναι:
\frac{AB}{AC}\frac{\sin\widehat{BAD}}{\sin\widehat{CAD}}=\frac{BD}{CD}
\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{2}\frac{\sin\widehat{BAD}}{\frac{1}{2}}=2
\Leftrightarrow \sin\widehat{BAD}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\Leftrightarrow \widehat{BAD}=45^{\circ} ή \widehat{BAD}=135^{\circ}
Άρα \widehat{BAC}=75^{\circ} ή \widehat{BAC}=165^{\circ} και τα μήκη των AB,AC είναι γνωστά άρα τα 2 τρίγωνα κατασκευάζονται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7536
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 25, 2020 11:44 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Οκτ 25, 2020 11:00 pm
ΜΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ:

κατά Σωτήρη.png
κατά Σωτήρη.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Θεωρούμε σαν βάση το ευθύγραμμο τμήμα AC. Θεωρούμε γωνίες \angle CAx = {30^ \circ },\;\angle ACy = {90^ \circ }, προς το ίδιο μέρος. Αν E = \left\{ {AD} \right\} \cap \left\{ {CE} \right\}, και στην προέκταση της ημιευθείας CE σημείο L τέτοιο πού \displaystyle{\frac{{CE}}{{EL}} = \frac{1}{2}.} Από το L θεωρούμε την παράλληλη στην AD και τον κύκλο (A,AB). Η τομή τους δίνει το σημείο B.
Κατασκευή απόλαυση :clap2:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7536
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Οκτ 25, 2020 11:46 pm

Manolis Petrakis έγραψε:
Κυρ Οκτ 25, 2020 11:13 pm
Από το γενικευμένο θεώρημα των διχοτόμων είναι:
\frac{AB}{AC}\frac{\sin\widehat{BAD}}{\sin\widehat{CAD}}=\frac{BD}{CD}
\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{2}\frac{\sin\widehat{BAD}}{\frac{1}{2}}=2
\Leftrightarrow \sin\widehat{BAD}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\Leftrightarrow \widehat{BAD}=45^{\circ} ή \widehat{BAD}=135^{\circ}
Άρα \widehat{BAC}=75^{\circ} ή \widehat{BAC}=165^{\circ} και τα μήκη των AB,AC είναι γνωστά άρα τα 2 τρίγωνα κατασκευάζονται.
:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 26, 2020 1:05 am

Καλημέρα σε όλους!
Ιδιόμορφη.. Ν.Φ.png
Ιδιόμορφη.. Ν.Φ.png (117.39 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Φέρω CE \parallel AD . Με το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ACE έχουμε \dfrac{\eta \mu \theta  }{2}=\dfrac{\eta \mu 30^o}{\sqrt{2}}\Rightarrow \eta \mu \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Οπότε όπως ο M.P. ( Μανώλη :welcomeani: )

\theta =45^o ή \theta =135^o και \widehat{BAC}=75^o ή \widehat{BAC}=165^o...

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ιδιόμορφη κατασκευή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 27, 2020 4:27 pm

Καλησπέρα!

Θέτω BD=2DC=2x, AD=d.
Ιδιόμορφη κατασκευή.png
Ιδιόμορφη κατασκευή.png (9.33 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Από \displaystyle {\rm{Stewart}}, \displaystyle 8x + 8x = 3x{d^2} + 6{x^3} \Leftrightarrow \boxed{{x^2} = \frac{{16 - 3{d^2}}}{6}} (1) και με νόμο συνημιτόνου στο ADC,

\displaystyle {x^2} = {d^2} + 4 - 2d\sqrt 3 \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 9{d^2} - 12d\sqrt 3  + 8 = 0, με δεκτή ρίζα \boxed{d = \frac{2}{3}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}

Το τρίγωνο ADC είναι λοιπόν κατασκευάσιμο. Στη συνέχεια προεκτείνω την CD κατά τμήμα DB=2CD και προσδιορίζω την

τρίτη κορυφή B του τριγώνου. Εύκολα τώρα (στο ζητούμενο για μαθητές), \boxed{BC = 2\sqrt {4 - \sqrt 3 } }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης