Εμβαδόν τριγώνου

KARKAR · #1

: εμβαδόν.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:30 am
εμβαδόν.pngΜπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ;

Με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle BD = \sqrt {80} ,CE = \sqrt {90}.$

: Εμβαδόν τριγώνου.Κ.png (9.19 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

$\displaystyle b \cdot BD = 2(ABC) = c \cdot CE \Leftrightarrow$ $\boxed{b = \frac{{3c\sqrt 2 }}{4}}$ (1)

Από το εγγράψιμο BCDE,

$\displaystyle c(c - \sqrt {10} ) = b(b - \sqrt {20} )\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{1}{8}{c^2} = \frac{1}{2}c\sqrt {10} \Leftrightarrow$ $\boxed{c = 4\sqrt {10} }$

Άρα, $\boxed{(ABC) = \frac{1}{2}c \cdot CE = 60}$

#3

Στο σχήμα τα AK,BD,CE

είναι ύψη.

$AB = \sqrt {16 + 144} = 4\sqrt {10} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 3\sqrt {20}$ .

$\sin \theta = \dfrac{{KB}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\sin \theta = \dfrac{{BE}}{{BC}} = \dfrac{{BE}}{{10}}$ και άρα : $BE = \sqrt {10} \,\,$ ομοίως : $DC = \sqrt {20}$ .

Το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ υπακούει στις προδιαγραφές της υπόθεσης άρα έχει εμβαδόν:

$\boxed{\left( {ABC} \right) = 60}$

#4

Από Π. Θ. στα $\vartriangle EBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DBC$ έχω: $EC = \sqrt {100 - 10} = 3\sqrt {10}$ και ομοίως $BD = 4\sqrt 5$ οπότε αβίαστα προκύπτουν:

$\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{1}{3} \hfill \\ \tan \omega = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \theta + \omega = 45^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {DBA} = \widehat {CEA} = 45^\circ$ .

: Εμβαδόν Τριγώνου _KARKAR_22_10_20_b.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Αν τώρα

το τρίτο ύψος του $\vartriangle ABC$ και

το ορθόκεντρό του θα είναι :

$\boxed{AH = BC = 10\,\,\,}$ Επειδή δε $EH = EB = \sqrt {10} \Rightarrow HC = 2\sqrt {10}$ κι επομένως :

$\boxed{HK = HC\sin \theta = 2\sqrt {10} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = 2}$ το $AK = 12 \Rightarrow \left( {ABC} \right) = 60$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:30 am
εμβαδόν.pngΜπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ;

$tan A_{2} =tan B_{2}= \dfrac{1}{2}$ και $tan A_{1} =tan B_{1}= \dfrac{1}{3}$ .

$tanA= \dfrac{tan A_{1}+tan A_{2} }{1-tan A_{1}tan A_{2}} =1 \Rightarrow \angle A=45^0 \Rightarrow AD=DB=4 \sqrt{5} \Rightarrow AC=6 \sqrt{5}$

Εύκολα τώρα $2(ABC)=BD . AC=4 \sqrt{5} . 6 \sqrt{5} \Rightarrow (ABC)=60$

Μάλλον πληκτρολογούσαμε ταυτόχρονα με τον Νίκο τώρα που είδα και τη δική του λύση..

: Εμβαδόν τριγώνου.png (22.99 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:30 am
Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ;

: shape.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Αν

το μέσο της

, τότε

.

Από Πτολεμαίο στο εγγράψιμο EDCB

και από αντίστροφο Πυθαγορείου στο $\triangleleft MED$ , προκύπτει ότι το $\triangleleft MED$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και εύκολα $\angle DBA = {45^ \circ }$

Έτσι, $(ABC) = \dfrac{{4\sqrt 5 \cdot 6\sqrt 5 }}{2} = 60\,\tau .\mu .$

nickchalkida · #7

Συνοπτικά...

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση