Το μικρότερο άθροισμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Το μικρότερο άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 21, 2020 5:21 pm

Το ελάχιστο άθροισμα.png
Το ελάχιστο άθροισμα.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές
Οι πλευρές AB, BC παραλληλογράμμου ABCD έχουν σταθερά μήκη a, b αντίστοιχα, ενώ η γωνία B\widehat AD

μεταβάλλεται. O είναι το περίκεντρο του τριγώνου BCD και M, N τα μέσα των AO, BD. Αν E είναι η

προβολή του A στην BD, να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα AE+MN.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2099
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το μικρότερο άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 22, 2020 10:26 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Οκτ 21, 2020 5:21 pm
Το ελάχιστο άθροισμα.png
Οι πλευρές AB, BC παραλληλογράμμου ABCD έχουν σταθερά μήκη a, b αντίστοιχα, ενώ η γωνία B\widehat AD

μεταβάλλεται. O είναι το περίκεντρο του τριγώνου BCD και M, N τα μέσα των AO, BD. Αν E είναι η

προβολή του A στην BD, να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα AE+MN.
Καλησπέρα Γιώργο

Στο τρίγωνο OAC είναι MN//OC,MN=\dfrac{OC}{2}=\dfrac{R}{2},,

\hat{DAB}=\omega =\hat{DCB},(DBC)=\dfrac{a.b.(DB)}{4R}=\dfrac{a.b.sin\omega }{2}= \dfrac{1}{2}(AE)(DB)

\Rightarrow AE=\dfrac{absin\omega }{DB},(1), \dfrac{DB}{sin\omega }=2R=4MN\Leftrightarrow MN=\dfrac{DB}{4sin\omega} 

,(2) (1),(2)\Rightarrow AE.MN =\dfrac{ab}{4}

δηλαδή σταθερό άρα το άθροισμα AE+MN

γίνεται ελάχιστο όταν AE=MN=\dfrac{R}{2} ,min(AE+MN)=2MN=R=\sqrt{ab},γιατί R^{2}=a.b
Συνημμένα
Το μικρότερο άθροισμα.png
Το μικρότερο άθροισμα.png (59.5 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το μικρότερο άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 23, 2020 5:39 pm

Μια παραλλαγή στην εμπνευσμένη λύση του φίλτατου Γιάννη .

Το μικρότερο άθροισμα_oritzin_a.png
Το μικρότερο άθροισμα_oritzin_a.png (25.45 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Στο τραπέζιο EAON η διάμεσος MK είναι και ύψος στο \vartriangle MNE οπότε: MN = ME

Θέτω AE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM = y . Επειδή από το τρίγωνο AOC ,

2MN// = OC = R \Rightarrow \boxed{2y = R}\,\,\left( 1 \right)

Από το \vartriangle CBD έχω: CD \cdot CB = 2Rh όπου h το ύψος από το C άρα \boxed{h = x}

Δηλαδή λόγω της \left( 1 \right): ab = 2Rx = 4xy κι αφού το γινόμενο xy σταθερό το

άθροισμα x + y γίνεται ελάχιστο όταν x = y δηλαδή \boxed{x + y = 2x = \sqrt {ab} }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μικρότερο άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 25, 2020 11:14 am

Ευχαριστώ τον Γιάννη και τον Νίκο για τις λύσεις τους. Να συμπληρώσω απλώς ότι η άσκηση

κατασκευάστηκε κομμένη και ραμμένη στη λύση του Γιάννη :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες