Το μικρότερο άθροισμα

#1

: Το ελάχιστο άθροισμα.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Οι πλευρές AB, BC

παραλληλογράμμου ABCD

έχουν σταθερά μήκη a, b

αντίστοιχα, ενώ η γωνία $B\widehat AD$

μεταβάλλεται.

είναι το περίκεντρο του τριγώνου BCD

και

τα μέσα των AO, BD.

Αν

είναι η

προβολή του

στην

να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα AE+MN.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 21, 2020 5:21 pm
Το ελάχιστο άθροισμα.png
Οι πλευρές παραλληλογράμμου έχουν σταθερά μήκη αντίστοιχα, ενώ η γωνία $B\widehat AD$

μεταβάλλεται. είναι το περίκεντρο του τριγώνου και τα μέσα των Αν είναι η

προβολή του στην να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα

Καλησπέρα Γιώργο

Στο τρίγωνο OAC

είναι $MN//OC,MN=\dfrac{OC}{2}=\dfrac{R}{2},$ ,

$\hat{DAB}=\omega =\hat{DCB},(DBC)=\dfrac{a.b.(DB)}{4R}=\dfrac{a.b.sin\omega }{2}= \dfrac{1}{2}(AE)(DB) \Rightarrow AE=\dfrac{absin\omega }{DB},(1), \dfrac{DB}{sin\omega }=2R=4MN\Leftrightarrow MN=\dfrac{DB}{4sin\omega} ,(2) (1),(2)\Rightarrow AE.MN =\dfrac{ab}{4}$

δηλαδή σταθερό άρα το άθροισμα AE+MN

γίνεται ελάχιστο όταν $AE=MN=\dfrac{R}{2} ,min(AE+MN)=2MN=R=\sqrt{ab}$ ,γιατί $R^{2}=a.b$

#3

Μια παραλλαγή στην εμπνευσμένη λύση του φίλτατου Γιάννη .

: Το μικρότερο άθροισμα_oritzin_a.png (25.45 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Στο τραπέζιο EAON

η διάμεσος

είναι και ύψος στο $\vartriangle MNE$ οπότε: MN = ME

Θέτω $AE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM = y$ . Επειδή από το τρίγωνο AOC

,

$2MN// = OC = R \Rightarrow \boxed{2y = R}\,\,\left( 1 \right)$

Από το $\vartriangle CBD$ έχω: $CD \cdot CB = 2Rh$ όπου

το ύψος από το

άρα $\boxed{h = x}$

Δηλαδή λόγω της $\left( 1 \right)$ : ab = 2Rx = 4xy

κι αφού το γινόμενο

σταθερό το

άθροισμα x + y

γίνεται ελάχιστο όταν x = y

δηλαδή $\boxed{x + y = 2x = \sqrt {ab} }$

#4

Ευχαριστώ τον Γιάννη και τον Νίκο για τις λύσεις τους. Να συμπληρώσω απλώς ότι η άσκηση

κατασκευάστηκε κομμένη και ραμμένη στη λύση του Γιάννη

Το μικρότερο άθροισμα

Το μικρότερο άθροισμα

Re: Το μικρότερο άθροισμα

Re: Το μικρότερο άθροισμα

Re: Το μικρότερο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση