Ελάχιστο μήκος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστο μήκος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 08, 2020 7:04 pm

Ελάχιστο μήκος.png
Ελάχιστο μήκος.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=5, AC=7, BC=8 και ένα σημείο S εσωτερικό του τριγώνου,

ώστε A\widehat SC=120^\circ. Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του BS.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7976
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστο μήκος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 08, 2020 9:40 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 08, 2020 7:04 pm
Ελάχιστο μήκος.png
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=5, AC=7, BC=8 και ένα σημείο S εσωτερικό του τριγώνου,

ώστε A\widehat SC=120^\circ. Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του BS.
Ελάχιστο μήκος_τμήματος_Bisbikis.png
Ελάχιστο μήκος_τμήματος_Bisbikis.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές
B{S_{\min }} = 2\sqrt 3


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2071
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελάχιστο μήκος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 09, 2020 12:09 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Οκτ 08, 2020 7:04 pm
Ελάχιστο μήκος.png
Δίνεται τρίγωνο ABC με AB=5, AC=7, BC=8 και ένα σημείο S εσωτερικό του τριγώνου,

ώστε A\widehat SC=120^\circ. Να βρείτε το ελάχιστο μήκος του BS.
Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC εύκολα προκύπτει \angle B=60^0

Με K κέντρο του κύκλου με το τόξο του ANC 120^0 εύκολα προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο AMK

ότι η ακτίνα του είναι R= \dfrac{7 \sqrt{3} }{3} και το BKAC είναι εγγράψιμο κι από

Πτολεμαίο παίρνουμε BK= \dfrac{13 \sqrt{3} }{3} ,άρα BK-R= \dfrac{13 \sqrt{3} }{3}- \dfrac{7 \sqrt{3} }{3}=2 \sqrt{3}

Είναι γνωστό όμως (Άσκηση σχολικού)ότι η ελάχιστη τιμή του BS λαμβάνεται όταν  S \equiv N και BS_{min} =BN=2 \sqrt{3}
ελάχιστο μήκος.png
ελάχιστο μήκος.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο μήκος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 13, 2020 6:44 pm

Ο περίκυκλος του ASC τέμνει την BC στο D και έστω K το κέντρο του κύκλου. Το ελάχιστο μήκος

του BS επιτυγχάνεται όταν S είναι το πρώτο σημείο τομής του κύκλου με την BK. Έστω BS=x.
Ελάχιστο μήκος.β.png
Ελάχιστο μήκος.β.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Με νόμο συνημιτόνου στα τρίγωνα ABC, AKC βρίσκω πρώτα \displaystyle \widehat B = 60^\circ και στη συνέχεια \displaystyle R = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}.

Επειδή \displaystyle A\widehat DC = A\widehat SC = 120^\circ , προκύπτει ότι το ABD είναι ισόπλευρο, άρα BD=5.

\displaystyle BS \cdot BP = BD \cdot BC \Leftrightarrow x(x + 2R) = 5 \cdot 8 = 40 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{14\sqrt 3 }}{3}x - 40 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=2\sqrt 3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης