2ο θεώρημα τριών μεσοκαθέτων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

2ο θεώρημα τριών μεσοκαθέτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 29, 2020 12:19 pm

Θεώρημα  τριών  μεσοκαθέτων.png
Θεώρημα τριών μεσοκαθέτων.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Στο μη ισοσκελές τραπέζιο ABCD , με κέντρο κινητό σημείο O της μεσοκαθέτου της βάσης DC ,

γράφουμε τον κύκλο (O,OD) , ο οποίος τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές AD,BC στα S,T

αντίστοιχα . Οι μεσοκάθετοι των ST , AB τέμνονται στο K . Δείξτε ότι το τμήμα OK έχει σταθερό

μήκος και υπολογίστε αυτό το μήκος , αν : \tan A=\dfrac{12}{5} και BC=6 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 2ο θεώρημα τριών μεσοκαθέτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 29, 2020 1:21 pm

2ο θεώρημα τριών καθέτων.png
2ο θεώρημα τριών καθέτων.png (34.9 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
\boxed{OK = \frac{{BC}}{{2\sin A}}}


Edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Σεπ 30, 2020 12:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 2ο θεώρημα τριών μεσοκαθέτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 29, 2020 5:37 pm

Επειδή οι γωνίες \widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}} είναι παραπληρώματα της \widehat {ADC} είναι ίσες άρα τα σημεία : A,B,T,S ανήκουν στον κύκλο κέντρου K και ακτίνας KT.

\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} ( σχέση μισής επικέντρου και εγγεγραμμένης στο κάτω κύκλο).

Για τον ίδιο λόγο είναι και οι κίτρινες γωνίες ίσες , οπότε \vartriangle TOK \approx \vartriangle SBC.
2ο θεώρημα τριών καθέτων_ok.png
2ο θεώρημα τριών καθέτων_ok.png (36.9 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

Ο λόγος ομοιότητας τους είναι ίσος με το λόγο των αντιστοίχων υψών TG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DH.

Έτσι : \dfrac{{OK}}{{BC}} = \dfrac{{TG}}{{SJ}} . Όπου J η προβολή του S στην BC , θα είναι ST = 2GT και

ο προηγούμενος λόγος γράφεται : \dfrac{{OK}}{{BC}} = \dfrac{{ST}}{{2SJ}} = \dfrac{{AD}}{{2DH}} = \dfrac{1}{{2\sin A}} \Rightarrow \boxed{OK = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}}}

Με τα αριθμητικά δεδομένα έχω: \boxed{OK = \dfrac{7}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες