Μέγιστη "διάμεσος"

KARKAR · #1

: Μέγιστη _διάμεσος_.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Από όλα τα τετράπλευρα με πλευρές AB=11, BC=9 , CD=3 , DA=7

, κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα M , N

των

αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 28, 2020 12:45 pm
Μέγιστη _διάμεσος_.pngΑπό όλα τα τετράπλευρα με πλευρές , κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα των αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων.

: Μέγιστη διάμεσος.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

$\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = 130 = A{D^2} + B{C^2} \Leftrightarrow AC \bot BD$

$\displaystyle MN \le OM + ON = \frac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow MN \le 7,$ με την ισότητα να ισχύει όταν M, O, N

συνευθειακά,

δηλαδή AB||CD.

Η κατασκευή πλέον του τραπεζίου είναι απλή.

Al.Koutsouridis · #3

Για το πλήρες της λύσης θα πρέπει να δούμε τι γίνεται και στην περίπτωση που το τετράπλευρο είναι μη κυρτό.

S.E.Louridas · #4

Ας προσπαθήσουμε να δούμε μία μέθοδο λύσης στην γενικότερη μορφή τετράπλευρου (και για μη κυρτό).

Στο σχήμα που ακολουθεί, έστω και αν ήταν μη κυρτό, θεωρούμε τα παραλληλόγραμμα DNEA, NCBZ,

οπότε έχουμε $AE\mathop = \limits^\parallel BZ = c,\;\left\{ M \right\} \in \left\{ {EZ} \right\},\;EM = MZ.$
Από το πρώτο θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο NEZ,

τελικά αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη επί 2, παίρνουμε: $4M{N^2} = 2{d^2} + 2{b^2} - {\left( {2x} \right)^2} \leqslant 2{d^2} + 2{b^2} - T{Q^2},$ αφού $2x = EZ \geqslant TQ.$
Συνεπώς το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν $EZ = TQ \Rightarrow Z \equiv Q \Rightarrow DC\parallel AB.$

: tetr..png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

KARKAR · #5

Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .

: Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές

Κατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος"

του τετραπλεύρου του σχήματος , με : AB=7 , BC=6 , AD=5 , DC=4

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 29, 2020 1:49 pm
Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .

Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.pngΚατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος"

του τετραπλεύρου του σχήματος , με :

Έχει ήδη αποδειχθεί ότι το ABCD

είναι τραπέζιο.

: Μέγιστη διάμεσος.β.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

Φέρνω

και

Είναι,

και $\displaystyle AP = PE = \frac{3}{2}$

Με θεώρημα διαμέσων στο ADE

βρίσκω $\boxed{ DP=M{N_{\max }} = \frac{{\sqrt {113} }}{2}}$

Μέγιστη "διάμεσος"

Μέγιστη "διάμεσος"

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

Μέλη σε σύνδεση