Μέγιστη "διάμεσος"

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12309
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη "διάμεσος"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Σεπ 28, 2020 12:45 pm

Μέγιστη  _διάμεσος_.png
Μέγιστη _διάμεσος_.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Από όλα τα τετράπλευρα με πλευρές AB=11, BC=9 , CD=3 , DA=7 , κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα M , N των AB , CD αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 28, 2020 5:00 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Σεπ 28, 2020 12:45 pm
Μέγιστη _διάμεσος_.pngΑπό όλα τα τετράπλευρα με πλευρές AB=11, BC=9 , CD=3 , DA=7 , κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα M , N των AB , CD αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .
Έστω O το σημείο τομής των διαγωνίων.
Μέγιστη διάμεσος.png
Μέγιστη διάμεσος.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = 130 = A{D^2} + B{C^2} \Leftrightarrow AC \bot BD

\displaystyle MN \le OM + ON = \frac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow MN \le 7, με την ισότητα να ισχύει όταν M, O, N συνευθειακά,

δηλαδή AB||CD. Η κατασκευή πλέον του τραπεζίου είναι απλή.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Σεπ 29, 2020 9:37 am

Για το πλήρες της λύσης θα πρέπει να δούμε τι γίνεται και στην περίπτωση που το τετράπλευρο είναι μη κυρτό.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5589
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Σεπ 29, 2020 11:43 am

Ας προσπαθήσουμε να δούμε μία μέθοδο λύσης στην γενικότερη μορφή τετράπλευρου (και για μη κυρτό).

Στο σχήμα που ακολουθεί, έστω και αν ήταν μη κυρτό, θεωρούμε τα παραλληλόγραμμα DNEA, NCBZ,
οπότε έχουμε AE\mathop  = \limits^\parallel  BZ = c,\;\left\{ M \right\} \in \left\{ {EZ} \right\},\;EM = MZ.
Από το πρώτο θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο NEZ, τελικά αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη επί 2, παίρνουμε: 4M{N^2} = 2{d^2} + 2{b^2} - {\left( {2x} \right)^2} \leqslant  2{d^2} + 2{b^2} - T{Q^2}, αφού 2x = EZ \geqslant  TQ.
Συνεπώς το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν EZ = TQ \Rightarrow Z \equiv Q \Rightarrow DC\parallel AB.
tetr..png
tetr..png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12309
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 29, 2020 1:49 pm

Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση :clap2:

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .
Μέγιστη  ψευτοδιάμεσος.png
Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Κατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος" MN

του τετραπλεύρου του σχήματος , με : AB=7 , BC=6 , AD=5 , DC=4


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη "διάμεσος"

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 29, 2020 5:46 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Σεπ 29, 2020 1:49 pm
Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση :clap2:

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .

Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.pngΚατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος" MN

του τετραπλεύρου του σχήματος , με : AB=7 , BC=6 , AD=5 , DC=4
Έχει ήδη αποδειχθεί ότι το ABCD είναι τραπέζιο.
Μέγιστη διάμεσος.β.png
Μέγιστη διάμεσος.β.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Φέρνω DE||BC και DP||MN. Είναι, DE=6, DP=MN και \displaystyle AP = PE = \frac{3}{2}

Με θεώρημα διαμέσων στο ADE βρίσκω \boxed{ DP=M{N_{\max }} = \frac{{\sqrt {113} }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες