Ισότητα πλευρών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ισότητα πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm

Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Ισότητα πλευρών.png (67.14 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C} και EC=AB με E  \in BC.

Να εξεταστεί αν ισχύει AE=AB. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Ισότητα πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Δευ Σεπ 28, 2020 2:44 am

Απαντάω χωρίς να είμαι σίγουρος, οπότε διορθώσετε με αν κάνω λαθος.


Διπλασιαζουμε την \displaystyle{AE} οπότε δημιουργούνται δύο νέα τρίγωνα τα \displaystyle{AA'C,AEC} επίσης έχουμε ότι η \displaystyle{EC} είναι διάμεσος του \displaystyle{AA'C} από γνωστό θεώρημα έχουμε ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος από την ορθή ειναι ίση με το μισό της υποτηνουσας τότε θα έχουμε ότι \displaystyle{AE=EC=AB} και θα έχουμε το ζητούμενο αρκεί δηλαδή η γωνιά C του τριγώνου AA'C ναι είναι ορθή έπεται δηλαδή ότι 3C=90,c=30 
άρα αυτό συμβαίνει όταν η c ισούται με 30


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα πλευρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 28, 2020 2:53 am

Φέρνω τη διχοτόμο BD του \vartriangle ABC. Τώρα θα είναι: \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{\theta _{}}}.

Γράφω τον κύκλο \left( {A,B,C} \right) που η διχοτόμος BD αν προεκταθεί προς το D θα

διέρχεται από το νότιο πόλο του S. Έτσι θα είναι: SA = SC\,\,\left( 1 \right).
Ισότητα πλευρών.png
Ισότητα πλευρών.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές
Όμως είναι \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο . Άμεσες συνέπειες:

Το τετράπλευρο ABCS είναι ισοσκελές τραπέζιο και μάλιστα λόγω της \left( 1 \right) είναι υπερισοσκλές \left( {BA = AS = SC} \right).

Αλλά αφού AB = EC το τετράπλευρο AECS είναι παραλληλόγραμμο και μάλιστα ρόμβος γιατί έχει EC = CS.

Αφού λοιπόν το τετράπλευρο AECS είναι ρόμβος θα είναι : \boxed{AE = EC = AB}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα πλευρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 28, 2020 3:28 am

Ισότητα πλευρών_new_oritzin.png
Ισότητα πλευρών_new_oritzin.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Γράφω το κύκλο : \left( {A,AC} \right) που η EB αν προεκταθεί προς το B τον τέμνει στο D.

Προφανώς : \widehat {{D_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}. Αλλά στο τρίγωνο ADB η εξωτερική στο B είναι :

\widehat {2{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} \Leftrightarrow AB = DB και άρα : το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές

οπότε και το ίσο του τρίγωνο ECA\,\, είναι ισοσκελές άρα : \boxed{AB = EC = EA}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα πλευρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 28, 2020 9:49 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C} και EC=AB με E  \in BC.

Να εξεταστεί αν ισχύει AE=AB. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!

\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow \boxed{{b^2} - ac = {c^2}} (1) και με \displaystyle {\rm{Stewart}} στο ABC έχω:
Ισ. πλευρών.png
Ισ. πλευρών.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές
\displaystyle {b^2}(a - c) + {c^3} = aA{E^2} + ac(a - c) \Leftrightarrow aA{E^2} = ({b^2} - ac)(a - c) + {c^3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)}

\displaystyle aA{E^2} = a{c^2} - {c^3} + {c^3} \Leftrightarrow \boxed{AE=c}


Σημείωση: Το στοιχείο \widehat A>\widehat B δεν μου χρειάστηκε, άρα δεν είναι απαραίτητη προϋπόθεση.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισότητα πλευρών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Σεπ 28, 2020 7:40 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C} και EC=AB με E  \in BC.

Να εξεταστεί αν ισχύει AE=AB. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Εστω BN η διχοτόμος της γωνίας B και BN//AG,AM\perp BE

Tότε \hat{AGB}=\theta =\hat{C}\Rightarrow AG=AC

Εφόσον MG=MC,GB=AB=EC\Rightarrow BM=ME Αρα το τρίγωνο ABE είναι

ισοσκελές AB=AE
Συνημμένα
Ισότητα πλευρών.png
Ισότητα πλευρών.png (42.98 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα πλευρών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 30, 2020 7:18 am

tractatus έγραψε:
Δευ Σεπ 28, 2020 2:44 am
ι σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος από την ορθή ειναι ίση με το μισό της υποτηνουσας τότε θα έχουμε ότι \displaystyle{AE=EC=AB} και θα έχουμε το ζητούμενο αρκεί δηλαδή η γωνιά C του τριγώνου AA'C ναι είναι ορθή έπεται δηλαδή ότι 3C=90,c=30 
άρα αυτό συμβαίνει όταν η c ισούται με 30
Χάνω κάτι; Λες ότι αρκεί η γωνία C να είναι ορθή. Αυτό δεν σημαίνει ότι ΕΙΝΑΙ ορθή, αν δεν αποδειχθεί. Άλλο το "αρκεί" και άλλο το αντίστροφό του, που είναι το ζητούμενο.

Άσκηση για σένα: Φτιάξε ένα τρίγωνο όπου ισχύουν όλα τα δεδομένα της άσκησης αλλά η C είναι 20^o και όχι 30^o, όπως ισχυρίζεσαι.
(Αν θέλεις να δεις ένα τέτοιο σχήμα, κοίτα αυτό του Νίκου/Doloros)


tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Ισότητα πλευρών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Τετ Σεπ 30, 2020 10:21 am

Νόμιζα πως η άσκηση ισχύει υπό συνθήκη και προσπαθούσα να την βρω, προφανώς έκανα λαθος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα πλευρών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 30, 2020 11:12 am

tractatus έγραψε:
Τετ Σεπ 30, 2020 10:21 am
Νόμιζα πως η άσκηση ισχύει υπό συνθήκη και προσπαθούσα να την βρω, προφανώς έκανα λαθος.
Κάτι μπερδεύεις.

Ναι, η άσκση ισχύει υπό συνθήκη αλλά σπεύδω να επισημάνω ότι ΟΛΕΣ οι ασκήσεις έχουν συνθήκες. Προσοχή όμως, εδώ δεν έπεται αυτό που γράφεις από τις υπόλοιπες (δεδομένες) συνθήκες. Προφανώς θα πρέπει να ξεκαθαρίσεις την διαφορά του "ικανού" από το "αναγκαίο" στα Μαθηματικά. Γι' αυτό σου ζήτησα να
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Σεπ 30, 2020 7:18 am

Άσκηση για σένα: Φτιάξε ένα τρίγωνο όπου ισχύουν όλα τα δεδομένα της άσκησης αλλά η C είναι 20^o και όχι 30^o, όπως ισχυρίζεσαι.
Θα χαρούμε να δούμε εδώ ένα τέτοιο παράδειγμα.


tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Ισότητα πλευρών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Τετ Σεπ 30, 2020 12:38 pm

Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν \displaystyle{c=20} τότε \displaystyle{B=40 ,A=120}
Αν \displaystyle{BC> AB} τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα πλευρών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 30, 2020 2:02 pm

tractatus έγραψε:
Τετ Σεπ 30, 2020 12:38 pm
Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν \displaystyle{c=20} τότε \displaystyle{B=40 ,A=120}
Αν \displaystyle{BC> AB} τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)
Κατασκευή γωνίας διπλάσιας μιας άλλης.png
Κατασκευή γωνίας διπλάσιας μιας άλλης.png (19.07 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές
Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα BC και τυχαίο σημείο D πάνω στη μεσοκάθετό του .

Θεωρώ το E συμμετρικό του C με άξονα συμμετρίας την BD.

Η ευθεία CD τέμνει την ευθεία BE στο A .

Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα πλευρών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 30, 2020 2:15 pm

tractatus έγραψε:
Τετ Σεπ 30, 2020 12:38 pm
Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν \displaystyle{c=20} τότε \displaystyle{B=40 ,A=120}
Αν \displaystyle{BC> AB} τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)
Πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Ζητάμε να ισχύουν όλες οι συνθήκες του προλήματος, όπως δόθηκε, και επιπλέον C=20.

Με άλλα λόγια θέλουμε C=2B και  EC=AB με E  \in BC και επιπλέον C=20 (οπότε αυτόματα  B=2C=40 )

Κοντολογίς, ισχύουν οι συνθέκες του προβλήματος ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΙΣΧΥΡΙΣΤΟΥΜΕ ότι C=30, όπως ισχυρίστηκες.

Παροτρύνω να ξεκαθαρίσεις πολλά βασικά πράγματα στα Μαθηματικά. Στο στάδιο που βρίσκεσαι (φοιτητής αν δεν κάνω λάθος) δεν πρέπει
να έχεις αυτά τα κενά.

Όσο έγραφα, απάντησε ο Νίκος.

Θέτω λοιπόν το εξής πρόβλημα: Κάνε μία κατασκευή διαφορετική από του Νίκου. Υπάρχουν πολλές, εξ ίσου απλές.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα πλευρών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 01, 2020 12:51 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C} και EC=AB με E  \in BC.

Να εξεταστεί αν ισχύει AE=AB. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με D συμμετρικό του B ως προς AC είναι προφανές ότι DAEC είναι ισοσκελές τραπέζιο

Άρα \angle AEB=2x \Rightarrow AE=AB
Ισότητα πλευρών.png
Ισότητα πλευρών.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισότητα πλευρών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 07, 2020 1:29 pm

Χαιρετώ. Σας ευχαριστώ όλους για την συνδρομή σας, ασφαλώς και για τις κομψές λύσεις!
Να τονίσω κι' εγώ πως δεν ζητάμε επιπλέον προϋπόθεση για να ισχύει το ζητούμενο
εδώ μάλιστα όπως γράφει ο Γιώργος η σχέση \widehat{A}> \widehat{B} πλεονάζει..Ας υποβάλω συνοπτικά μια ακόμη προσέγγιση
Ισότητα πλευρών 2 .png
Ισότητα πλευρών 2 .png (80.71 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Φέρω την διχοτόμο BZ. Τα τρίγωνα BAZ,ZEC είναι ίσα (ΠΓΠ) , μας δίνουν ZA=ZE και \widehat{ZEC}=\widehat{BAZ}

οπότε το ABEZ είναι εγγράψιμο άρα \widehat{EAZ}=\widehat{EBZ}=\widehat{C} και AE=EC=AB.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης