Ισότητα πλευρών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..

: Ισότητα πλευρών.png (67.14 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και EC=AB

με $E \in BC$ .

Να εξεταστεί αν ισχύει . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

tractatus · #2

Απαντάω χωρίς να είμαι σίγουρος, οπότε διορθώσετε με αν κάνω λαθος.

Διπλασιαζουμε την $\displaystyle{AE}$ οπότε δημιουργούνται δύο νέα τρίγωνα τα $\displaystyle{AA'C,AEC}$ επίσης έχουμε ότι η $\displaystyle{EC}$ είναι διάμεσος του $\displaystyle{AA'C}$ από γνωστό θεώρημα έχουμε ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος από την ορθή ειναι ίση με το μισό της υποτηνουσας τότε θα έχουμε ότι $\displaystyle{AE=EC=AB}$ και θα έχουμε το ζητούμενο αρκεί δηλαδή η γωνιά C του τριγώνου AA'C ναι είναι ορθή έπεται δηλαδή ότι

3C=90,c=30

άρα αυτό συμβαίνει όταν η c ισούται με 30

#3

Φέρνω τη διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ . Τώρα θα είναι: $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{\theta _{}}}$ .

Γράφω τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ που η διχοτόμος

αν προεκταθεί προς το

θα

διέρχεται από το νότιο πόλο του

. Έτσι θα είναι: $SA = SC\,\,\left( 1 \right)$ .

: Ισότητα πλευρών.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Όμως είναι $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο . Άμεσες συνέπειες:

Το τετράπλευρο ABCS

είναι ισοσκελές τραπέζιο και μάλιστα λόγω της $\left( 1 \right)$ είναι υπερισοσκλές $\left( {BA = AS = SC} \right)$ .

Αλλά αφού AB = EC

το τετράπλευρο AECS

είναι παραλληλόγραμμο και μάλιστα ρόμβος γιατί έχει EC = CS

.

Αφού λοιπόν το τετράπλευρο AECS

είναι ρόμβος θα είναι : $\boxed{AE = EC = AB}$

#4

: Ισότητα πλευρών_new_oritzin.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

Γράφω το κύκλο : $\left( {A,AC} \right)$ που η

αν προεκταθεί προς το

τον τέμνει στο

.

Προφανώς : $\widehat {{D_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ . Αλλά στο τρίγωνο ADB

η εξωτερική στο

είναι :

$\widehat {2{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} \Leftrightarrow AB = DB$ και άρα : το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές

οπότε και το ίσο του τρίγωνο $ECA\,\,$ είναι ισοσκελές άρα : $\boxed{AB = EC = EA}$

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και με $E \in BC$ .

Να εξεταστεί αν ισχύει . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

$\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow$ $\boxed{{b^2} - ac = {c^2}}$ (1)

και με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο ABC

έχω:

: Ισ. πλευρών.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

$\displaystyle {b^2}(a - c) + {c^3} = aA{E^2} + ac(a - c) \Leftrightarrow aA{E^2} = ({b^2} - ac)(a - c) + {c^3}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle aA{E^2} = a{c^2} - {c^3} + {c^3} \Leftrightarrow$ $\boxed{AE=c}$

Σημείωση: Το στοιχείο $\widehat A>\widehat B$ δεν μου χρειάστηκε, άρα δεν είναι απαραίτητη προϋπόθεση.

STOPJOHN · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και με $E \in BC$ .

Να εξεταστεί αν ισχύει . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Εστω

η διχοτόμος της γωνίας

και $BN//AG,AM\perp BE$

Tότε $\hat{AGB}=\theta =\hat{C}\Rightarrow AG=AC$

Εφόσον $MG=MC,GB=AB=EC\Rightarrow BM=ME$ Αρα το τρίγωνο ABE

είναι

ισοσκελές AB=AE

#7

tractatus έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 28, 2020 2:44 am
ι σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος από την ορθή ειναι ίση με το μισό της υποτηνουσας τότε θα έχουμε ότι $\displaystyle{AE=EC=AB}$ και θα έχουμε το ζητούμενο αρκεί δηλαδή η γωνιά C του τριγώνου AA'C ναι είναι ορθή έπεται δηλαδή ότι 3C=90,c=30 άρα αυτό συμβαίνει όταν η c ισούται με 30

Χάνω κάτι; Λες ότι αρκεί η γωνία

να είναι ορθή. Αυτό δεν σημαίνει ότι ΕΙΝΑΙ ορθή, αν δεν αποδειχθεί. Άλλο το "αρκεί" και άλλο το αντίστροφό του, που είναι το ζητούμενο.

Άσκηση για σένα: Φτιάξε ένα τρίγωνο όπου ισχύουν όλα τα δεδομένα της άσκησης αλλά η

είναι

και όχι

, όπως ισχυρίζεσαι.
(Αν θέλεις να δεις ένα τέτοιο σχήμα, κοίτα αυτό του Νίκου/Doloros)

tractatus · #8

Νόμιζα πως η άσκηση ισχύει υπό συνθήκη και προσπαθούσα να την βρω, προφανώς έκανα λαθος.

#9

tractatus έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 10:21 am
Νόμιζα πως η άσκηση ισχύει υπό συνθήκη και προσπαθούσα να την βρω, προφανώς έκανα λαθος.

Κάτι μπερδεύεις.

Ναι, η άσκση ισχύει υπό συνθήκη αλλά σπεύδω να επισημάνω ότι ΟΛΕΣ οι ασκήσεις έχουν συνθήκες. Προσοχή όμως, εδώ δεν έπεται αυτό που γράφεις από τις υπόλοιπες (δεδομένες) συνθήκες. Προφανώς θα πρέπει να ξεκαθαρίσεις την διαφορά του "ικανού" από το "αναγκαίο" στα Μαθηματικά. Γι' αυτό σου ζήτησα να

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 7:18 am

Άσκηση για σένα: Φτιάξε ένα τρίγωνο όπου ισχύουν όλα τα δεδομένα της άσκησης αλλά η είναι και όχι , όπως ισχυρίζεσαι.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ ένα τέτοιο παράδειγμα.

tractatus · #10

Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν $\displaystyle{c=20}$ τότε $\displaystyle{B=40 ,A=120}$
Αν $\displaystyle{BC> AB}$ τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)

#11

tractatus έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 12:38 pm
Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν $\displaystyle{c=20}$ τότε $\displaystyle{B=40 ,A=120}$
Αν $\displaystyle{BC> AB}$ τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)

: Κατασκευή γωνίας διπλάσιας μιας άλλης.png (19.07 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα

και τυχαίο σημείο

πάνω στη μεσοκάθετό του .

Θεωρώ το

συμμετρικό του

με άξονα συμμετρίας την

.

Η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο

.

Στο τρίγωνο ABC

είναι $\widehat {{B_{}}} = 2\widehat {{C_{}}}$

#12

tractatus έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 12:38 pm
Δεν κατάλαβα τι ακριβώς εννοείτε, αν $\displaystyle{c=20}$ τότε $\displaystyle{B=40 ,A=120}$
Αν $\displaystyle{BC> AB}$ τότε μπορούμε να φτιάξουμε το τρίγωνο. ( Δεν ξέρω πως να μεταφέρω το σχήμα μου ώστε να το δείτε)

Πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Ζητάμε να ισχύουν όλες οι συνθήκες του προλήματος, όπως δόθηκε, και επιπλέον C=20

.

Με άλλα λόγια θέλουμε C=2B

και

με $E \in BC$ και επιπλέον C=20

(οπότε αυτόματα B=2C=40

)

Κοντολογίς, ισχύουν οι συνθέκες του προβλήματος ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΙΣΧΥΡΙΣΤΟΥΜΕ ότι C=30

, όπως ισχυρίστηκες.

Παροτρύνω να ξεκαθαρίσεις πολλά βασικά πράγματα στα Μαθηματικά. Στο στάδιο που βρίσκεσαι (φοιτητής αν δεν κάνω λάθος) δεν πρέπει
να έχεις αυτά τα κενά.

Όσο έγραφα, απάντησε ο Νίκος.

Θέτω λοιπόν το εξής πρόβλημα: Κάνε μία κατασκευή διαφορετική από του Νίκου. Υπάρχουν πολλές, εξ ίσου απλές.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #13

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 27, 2020 11:56 pm
Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα..
Ισότητα πλευρών.png
Στο τρίγωνο του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και με $E \in BC$ .

Να εξεταστεί αν ισχύει . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι προφανές ότι DAEC

είναι ισοσκελές τραπέζιο

Άρα $\angle AEB=2x \Rightarrow AE=AB$

: Ισότητα πλευρών.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #14

Χαιρετώ. Σας ευχαριστώ όλους για την συνδρομή σας, ασφαλώς και για τις κομψές λύσεις!
Να τονίσω κι' εγώ πως δεν ζητάμε επιπλέον προϋπόθεση για να ισχύει το ζητούμενο
εδώ μάλιστα όπως γράφει ο Γιώργος η σχέση $\widehat{A}> \widehat{B}$ πλεονάζει..Ας υποβάλω συνοπτικά μια ακόμη προσέγγιση

: Ισότητα πλευρών 2 .png (80.71 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Φέρω την διχοτόμο

. Τα τρίγωνα BAZ,ZEC

είναι ίσα (ΠΓΠ) , μας δίνουν ZA=ZE

και $\widehat{ZEC}=\widehat{BAZ}$

οπότε το ABEZ

είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{EAZ}=\widehat{EBZ}=\widehat{C}$ και AE=EC=AB

.

Φιλικά, Γιώργος.

Ισότητα πλευρών

Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Re: Ισότητα πλευρών

Μέλη σε σύνδεση