mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 23, 2020 9:33 pm**

: Ελαχιστοποίηση και γωνία.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές

Πάνω στην πλευρά BC=6

, τετραγώνου ABCD

, κινείται σημείο

. Επιλέγουμε σημείο

της

,

ώστε : $\widehat{DST}=30^0$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του

και το μήκος του

εκείνη την στιγμή .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 24, 2020 12:19 am**

: Ελαχιστοποίηση λόγω γωνία.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Το τετράπλευρο TKSC

είναι εγγράψιμο και άρα $\boxed{\widehat {DCK} = 30^\circ }$

Η πιο πάνω μας εξασφαλίζει ότι η ευθεία

είναι σταθερή. Έστω λοιπόν

το μέσο του

.

Επειδή 2MK = DT

, το

γίνεται ελάχιστο όταν το

γίνει ελάχιστο.

Ας είναι

η προβολή του μεταβλητού

στην σταθερή ευθεία

.

Επειδή: $MK \geqslant MF$ , το

γίνεται ελάχιστο όταν $F \equiv K$ ,

Τότε το τρίγωνο KMC

είναι ορθογώνιο στο

και του τύπου : $\left( {90^\circ ,60^\circ ,30^\circ } \right)$

Οπότε προφανώς $DT = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = 2$ , ενώ από το ισόπλευρο τρίγωνο KSC

$\boxed{CS = 2\sqrt 3 }$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 24, 2020 11:18 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 9:33 pm
Ελαχιστοποίηση και γωνία.pngΠάνω στην πλευρά , τετραγώνου , κινείται σημείο . Επιλέγουμε σημείο της ,

ώστε : $\widehat{DST}=30^0$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του και το μήκος του εκείνη την στιγμή .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle 6\tan x = CS = TS\sin (x + 30^\circ ) \Leftrightarrow TS = \frac{{6\tan x}}{{\sin (x + 30^\circ )}}$

: Ελαχιστοποίηση λόγω γωνίας.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Νόμος ημιτόνων στο DTS,

$\displaystyle 2DT = \frac{{TS}}{{\sin x}} \Leftrightarrow DT = \frac{{6\tan x}}{{2\sin x\sin (x + 30^\circ )}} = \frac{6}{{2\cos x\sin (x + 30^\circ )}}$

$\displaystyle DT = \frac{6}{{{{\cos }^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x}} = \frac{{12}}{{1 + \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x}} \Leftrightarrow DT = \frac{{12}}{{1 + 2\cos (2x - 60^\circ )}} \ge 4$

Άρα, $\boxed{D{T_{\min }} = 4}$ όταν $\displaystyle \cos (2x - 60^\circ ) = 1 \Leftrightarrow x = 30^\circ$ και $\boxed{CS = 6\tan 30^\circ = 2\sqrt 3 }$