Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 22, 2020 7:10 pm

Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές
Έστω E το σημείο τομής των διαγωνίων AC, BD εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD και F το σημείο

τομής των CB, DA. Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο CEDG. Αν H είναι το συμμετρικό του E ως

προς την AD, να δείξετε ότι και το FHDG είναι εγγράψιμο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 24, 2020 3:10 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 22, 2020 7:10 pm
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Έστω E το σημείο τομής των διαγωνίων AC, BD εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD και F το σημείο

τομής των CB, DA. Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο CEDG. Αν H είναι το συμμετρικό του E ως

προς την AD, να δείξετε ότι και το FHDG είναι εγγράψιμο.
Στο βιβλίο των Τσίντσιφα-Μπαλλή-Ζουρνά από το θεώρημα των ισογώνιων ευθειών (σελίδα 309)

Προκύπτει ότι οι ευθείες FE,\,\,FG είναι ισογώνιες των ευθειών ,FC,FD.

Τα υπόλοιπα με κυνήγι γωνιών. Αργότερα λεπτομέρειες .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Σεπ 25, 2020 12:35 pm

Καλημέρα σε όλους από Βρυξέλλες

Ωραία πρόταση Γιώργο!

Πράγματι το κλειδί της λύσης είναι η πρόταση που αναφέρει ο Νίκος η οποία έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica παλαιότερα αλλά είναι δύσκολο να τη βρω τώρα.

Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόταση Daniel Sokolowski και μια της απόδειξη (αυτή ήταν και στο mathematica) βρίσκεται εδώ (η τελευταία (13η ) από τον σύγχρονο θρύλο της γεωμετρίας Γάλλο φίλο Jean-Louis AYME

Θα περιμένω (την εύκολη πλέον με τη βοήθεια αυτής της πρότασης) λύση του προβλήματος από τον Νίκο και αν είναι διαφορετική από τη δική μου θα γράψω και τη δική μου αργότερα


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 25, 2020 12:53 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 25, 2020 12:35 pm
Καλημέρα σε όλους από Βρυξέλλες

Ωραία πρόταση Γιώργο!

Πράγματι το κλειδί της λύσης είναι η πρόταση που αναφέρει ο Νίκος η οποία έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica παλαιότερα αλλά είναι δύσκολο να τη βρω τώρα.

Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόταση Daniel Sokolowski και μια της απόδειξη (αυτή ήταν και στο mathematica) βρίσκεται εδώ (η τελευταία (13η ) από τον σύγχρονο θρύλο της γεωμετρίας Γάλλο φίλο Jean-Louis AYME

Θα περιμένω (την εύκολη πλέον με τη βοήθεια αυτής της πρότασης) λύση του προβλήματος από τον Νίκο και αν είναι διαφορετική από τη δική μου θα γράψω και τη δική μου αργότερα
Εντάξει Στάθη . Μέχρι το απόγευμα θα τα έχω γράψει ( τρέχουν και άλλες δουλειές)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 25, 2020 7:35 pm

Λήμμα
Λήμμα Εγγράψιμο απο εγγράψιμο_ισογώνιες_απόδειξη.png
Λήμμα Εγγράψιμο απο εγγράψιμο_ισογώνιες_απόδειξη.png (36.08 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές
Έστω τα (και ομοκυκλικά σημεία ) A,B,C,D και E το σημείο τομής των AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD και F το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

Για την γωνία \widehat {DFG} θεωρώ την ισογώνια ευθεία της FE και την τομή της G με την παράλληλη από το D προς την AC.

Αν {E_1}\,\,,\,\,{E_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{G_1}\,\,,\,\,{G_2} οι προβολές των E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G στις ευθείες \overline {FAD} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {FBC} αντίστοιχα τότε από το θεώρημα των ισογωνίων προκύπτει ότι τα σημεία

{E_1}\,,\,{G_2}\,,\,{G_1}\,,\,{E_2} ανήκουν στον ίδιο κύκλο του οποίου το κέντρο Q είναι το μέσο του EG.

Άμεση συνέπεια: \vartriangle EQC = \vartriangle GQD\,\,(\Gamma \,,\,\Pi \,,\Gamma ) άρα EC = DG κι αφού EC//DG το τετράπλευρο EDGC είναι παραλληλόγραμμο.

Πάμε τώρα στην άσκηση.
Εγγρά;ψιμο απο εγγράψιμο.png
Εγγρά;ψιμο απο εγγράψιμο.png (39.19 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές


Οι με το ίδιο χρώμα γωνίες ότι είναι ίσες είναι παραπάνω από προφανές .

Επειδή από το τρίγωνο EAD η εξωτερική γωνία του \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _1}}

Θα έχω : \widehat {GDH} + \widehat {HFG} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{a_1}} + 2\widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ ( Από το \vartriangle ACF)

Δηλαδή το τετράπλευρο FHDG είναι εγγράψιμο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Σεπ 25, 2020 8:50 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Σεπ 25, 2020 7:35 pm
Λήμμα

Λήμμα Εγγράψιμο απο εγγράψιμο_ισογώνιες_απόδειξη.png

Έστω τα (και ομοκυκλικά σημεία ) A,B,C,D και E το σημείο τομής των AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD και F το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.

Για την γωνία \widehat {DFG} θεωρώ την ισογώνια ευθεία της FE και την τομή της G με την παράλληλη από το D προς την AC.

Αν {E_1}\,\,,\,\,{E_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{G_1}\,\,,\,\,{G_2} οι προβολές των E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G στις ευθείες \overline {FAD} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {FBC} αντίστοιχα τότε από το θεώρημα των ισογωνίων προκύπτει ότι τα σημεία

{E_1}\,,\,{G_2}\,,\,{G_1}\,,\,{E_2} ανήκουν στον ίδιο κύκλο του οποίου το κέντρο Q είναι το μέσο του EG.

Άμεση συνέπεια: \vartriangle EQC = \vartriangle GQD\,\,(\Gamma \,,\,\Pi \,,\Gamma ) άρα EC = DG κι αφού EC//DG το τετράπλευρο EDGC είναι παραλληλόγραμμο.

Πάμε τώρα στην άσκηση.

Εγγρά;ψιμο απο εγγράψιμο.png

Οι με το ίδιο χρώμα γωνίες ότι είναι ίσες είναι παραπάνω από προφανές .

Επειδή από το τρίγωνο EAD η εξωτερική γωνία του \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _1}}

Θα έχω : \widehat {GDH} + \widehat {HFG} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{a_1}} + 2\widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ ( Από το \vartriangle ACF)

Δηλαδή το τετράπλευρο FHDG είναι εγγράψιμο.
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Σεπ 26, 2020 11:03 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 22, 2020 7:10 pm
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Έστω E το σημείο τομής των διαγωνίων AC, BD εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD και F το σημείο

τομής των CB, DA. Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο CEDG. Αν H είναι το συμμετρικό του E ως

προς την AD, να δείξετε ότι και το FHDG είναι εγγράψιμο.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CAF τέμνει την GC στο S

Επειδή   \angle SAF= \angle SCF= \angle CBD= \angle CAD =\angle DAH \Rightarrow  S,A,H συνευθειακά και όλες οι

γωνίες \theta είναι ίσες όπως και οι κόκκινες και SFHD εγγράψιμο

Προφανώς ισχύει \angle GDF= \angle GCB και \angle GCB+ \omega =180^0 \Rightarrow  \angle GDF+GSF=180^0 \Rightarrow GSFD εγγράψιμο

Έτσι, \angle FGD= \angle FSD= \angle DHx που αποδεικνύει το ζητούμενο
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 27, 2020 4:52 pm

Αλλιώς. Από το εγγράψιμο ABCD και από το παραλληλόγραμμο CEDG προκύπτει ότι:
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.β.png
Εγγράψιμο από εγγράψιμο.β.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές
\displaystyle F\widehat BA = F\widehat DC,A\widehat BD = A\widehat CD = C\widehat DG \Rightarrow \boxed{F\widehat BE = F\widehat DG} (1)

Από τα όμοια τρίγωνα FBA, FCD, αλλά και τα EAB, ECD, \displaystyle \frac{{FB}}{{FD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{EB}}{{DG}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{FB}}{{EB}} = \frac{{FD}}{{DG}}} (2)

Από (1),(2) τα FBE, FDG είναι όμοια, άρα \displaystyle F\widehat GD = F\widehat EB = 180^\circ  - F\widehat ED = 180^\circ  - F\widehat HD και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης