Ελάχιστη διαδρομή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη διαδρομή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 17, 2020 8:17 pm

Ελάχιστη  διαδρομή.png
Ελάχιστη διαδρομή.png (8.9 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει κάθετες πλευρές : AB=4 και AC=3 . Μεταβαίνουμε

από την κορυφή C σε σημείο S της πλευράς AB και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα

προς την BC σε σημείο της , T . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : CS+ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη διαδρομή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Σεπ 17, 2020 8:43 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ο Καρτέσιος συναντά τον Ήρωνα.

17-09-2020 Γεωμετρία.png
17-09-2020 Γεωμετρία.png (41.65 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές


Έστω A(0,0), B(4, 0), C(0,3), C’(0, -3).

H BC’ είναι συμμετρική της BC ως προς την ευθεία των A, B.

Έστω ST’ κάθετο στην BC’, οπότε, λόγω συμμετρίας, ST=ST’.

Άρα CS+ST=CS+ST’ \ge CT’ με το ίσον όταν C, S, T’ συνευθειακά.

Έστω S(a, 0), 0<a<4, οπότε τα C, S, T’ είναι συνευθειακά, όταν

 \displaystyle CS \bot BC' \Leftrightarrow  - \frac{3}{a} \cdot \frac{3}{4} =  - 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4} ,

οπότε … (πράξεις) ...  \displaystyle {\left( {CS + ST} \right)_{\min }} = \frac{{24}}{5}.


(πράξεις):


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστη διαδρομή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 18, 2020 2:20 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 17, 2020 8:17 pm
Ελάχιστη διαδρομή.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει κάθετες πλευρές : AB=4 και AC=3 . Μεταβαίνουμε

από την κορυφή C σε σημείο S της πλευράς AB και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα

προς την BC σε σημείο της , T . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : CS+ST .
ελάχιστη διαδρομή.png
ελάχιστη διαδρομή.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Κλασσικό πρόβλημα μπιλιάρδου .

Από το συμμετρικό F του C ως προς την AB φέρνω κάθετη στην BC και συναντά την AB στο S.

CS + ST = FT = \sqrt {C{F^2} - C{T^2}} \,\,(1) .

Αλλά αφού : το τετράπλευρο AFBT είναι εγγράψιμο θα ισχύει:

CA \cdot CF = CT \cdot CB \Rightarrow 3 \cdot 6 = 5CT \Rightarrow \boxed{CT = \frac{{18}}{5}} κι έτσι η (1) δίδει:

\boxed{CS + ST = \sqrt {{6^2} - \frac{{{{18}^2}}}{{{5^2}}}}  = \frac{1}{5}\sqrt {\left( {30 + 18} \right)\left( {30 - 18} \right)}  = \frac{{24}}{5}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη διαδρομή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 18, 2020 8:05 am

Στο σχήμα του Νίκου, FT είναι το ύψος του τριγώνου CFB.

\displaystyle CF \cdot AB = BC \cdot FT \Leftrightarrow 6 \cdot 4 = 5FT \Leftrightarrow \boxed{{(CS + ST)_{\min }} = FT = \frac{{24}}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης