Εξαιρετική ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11882
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξαιρετική ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 17, 2020 12:06 pm

Εξαιρετική  ισότητα.png
Εξαιρετική ισότητα.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές
\bigstar Η AD είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC με : AB<AC . Θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=BD και φέρουμε ST \parallel DA , ( T \in  AC ). Δείξτε ότι : TC=AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5531
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εξαιρετική ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Σεπ 17, 2020 4:23 pm

Από τα δεδομένα άμεσα έχουμε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ABD, TSC είναι ίσοι και επειδή \angle ADB + \angle CST = {180^ \circ }, οι χορδές AB, TC ισούνται.



edit: Απλά έκανα άρση της απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Πέμ Σεπ 17, 2020 9:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξαιρετική ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 17, 2020 5:21 pm

εξαιρετική ισότητα.png
εξαιρετική ισότητα.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Έστω E το σημείο τομής του κύκλου \left( {A,B,C} \right) με την από το A παράλληλη στην BC. Το τετράπλευρο ABCE είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Τα τρίγωνα ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CES είναι ίσα και το τετράπλευρο ADSE ισοσκελές τραπέζιο ενώ το τετράπλευρο SCET εγγράψιμο.

Οι κίτρινες γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες , οι κόκκινες γωνίες μεταξύ τους ίσες και οι πράσινες μεταξύ τους ίσες .

Από το τρίγωνο TSC η εξωτερική γωνία στο S ισούται με μια κίτρινη και μια πράσινη άρα \vartriangle CTE είναι ισοσκελές,

Το ζητούμενο φανερό .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12630
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξαιρετική ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 17, 2020 10:38 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 17, 2020 12:06 pm
Εξαιρετική ισότητα.png\bigstar Η AD είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC με : AB<AC . Θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=BD και φέρουμε ST \parallel DA , ( T \in  AC ). Δείξτε ότι : TC=AB .
Από θεώρημα διχοτόμου και μετά από Θαλή

\displaystyle{ \dfrac {AB}{BD}= \dfrac {AC}{DC}=\dfrac {TC}{SC} = \dfrac {TC}{BD}} (διότι SC=BD)

Από το πρώτο και το τελευταίο πηλίκο έχουμε AB=TC.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1909
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξαιρετική ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Σεπ 18, 2020 12:43 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 17, 2020 12:06 pm
Εξαιρετική ισότητα.png\bigstar Η AD είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC με : AB<AC . Θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=BD και φέρουμε ST \parallel DA , ( T \in  AC ). Δείξτε ότι : TC=AB .

Αν BE//AC είναι BE=AB. Προφανώς \triangle BDE= \triangle TCS \Rightarrow CT=BE=AB
Εξαιρετική ισότητα.png
Εξαιρετική ισότητα.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξαιρετική ισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 18, 2020 6:15 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Σεπ 17, 2020 12:06 pm
Εξαιρετική ισότητα.png\bigstar Η AD είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC με : AB<AC . Θεωρούμε σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=BD και φέρουμε ST \parallel DA , ( T \in  AC ). Δείξτε ότι : TC=AB .
Παρόμοια με του Μιχάλη Λάμπρου.

Έστω E το σημείο τομής των AD, BT. Από το θ. διχοτόμου και τις παραλληλίες έχουμε:
Εξαιρετική ισότητα.png
Εξαιρετική ισότητα.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
\displaystyle \frac{{AB}}{{AT}} = \frac{{BE}}{{ET}} = \frac{{BD}}{{DS}} = \frac{{CS}}{{DS}} = \frac{{TC}}{{AT}} \Leftrightarrow \boxed{AB=TC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης