Συντρέχουν ... προδευτικά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11718
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συντρέχουν ... προδευτικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 16, 2020 12:09 pm

Συντρέχουν  προοδευτικά.png
Συντρέχουν προοδευτικά.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Οι πλευρές a , c , b , του τριγώνου ABC είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : \omega=2 .

Η διάμεσος AM , το ύψος BD και η διχοτόμος CE συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7354
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συντρέχουν ... προδευτικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 16, 2020 3:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 16, 2020 12:09 pm
Συντρέχουν προοδευτικά.pngΟι πλευρές a , c , b , του τριγώνου ABC είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : \omega=2 .

Η διάμεσος AM , το ύψος BD και η διχοτόμος CE συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .
Συντρέχουν προοδευτικά.png
Συντρέχουν προοδευτικά.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Αν AB = x τότε : AC = x + 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BC = x - 2\, ,

Επειδή το ύψος από το B , η διάμεσος από το A και η διχοτόμος από το C συντρέχουν θα είναι:


\sin B = |\cos A \cdot \tan C| \Rightarrow \boxed{x = 3 + \sqrt {13} }

Αν δεν έχω κάνει λάθος πράξεις προκύπτει \boxed{\left( {ABC} \right) = \sqrt {\frac{{201 + 57\sqrt {13} }}{2}} }

Παρατήρηση:
πρόταη για συντρέχεια_new.png
πρόταη για συντρέχεια_new.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Αν {h_a}\,\,,\,\,{m_b}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{d_c} συντρέχουν , τότε: \boxed{sinA = \cos B \cdot \tan C}

Απόδειξη :

Για κάθε σημείο S της διαμέσου BM αν φέρω τις τέμνουσες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE που διέρχονται απ’ αυτό θα είναι : ED//AD.

\boxed{\cos B \cdot \tan C = \frac{{BD}}{c} \cdot \frac{h}{{DC}} = \frac{{hBD}}{{cDC}} = \frac{h}{c} \cdot \frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{ha}}{{cb}} = \frac{{ha}}{{2Rh}} = \frac{a}{{2R}} = \sin A}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συντρέχουν ... προδευτικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 19, 2020 7:18 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 16, 2020 12:09 pm
Συντρέχουν προοδευτικά.pngΟι πλευρές a , c , b , του τριγώνου ABC είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : \omega=2 .

Η διάμεσος AM , το ύψος BD και η διχοτόμος CE συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .
Έστω \displaystyle AC = b,AB = b - 2,BC = b - 4, b>4. Επειδή η AM είναι διάμεσος, εύκολα προκύπτει με \displaystyle {\rm{Ceva}} ότι DE||BC.
Προοδευτικά.png
Προοδευτικά.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές
\displaystyle \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{b}{{b - 4}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{b} = \frac{b}{{2b - 4}} \Leftrightarrow AD = \frac{{{b^2}}}{{2b - 4}} και \displaystyle CD = \frac{{{b^2} - 4b}}{{2b - 4}}

\displaystyle A{C^2} - A{B^2} = A{D^2} - C{D^2} \Leftrightarrow 4(b - 3) = b(AD - CD) = \frac{{2{b^2}}}{{b - 2}} \Leftrightarrow

\displaystyle {b^2} - 10b + 12 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b > 4} \boxed{b=5+\sqrt{13}} Άρα CD=3 και με Π. Θ, \displaystyle BD =\sqrt{ 5 + 2\sqrt {13}}.

\boxed{(ABC) = \frac{{AC \cdot BD}}{2} = \frac{{\left( {5 + \sqrt {13} } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt {13} } }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης