Ελάχιστο γινομένου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο γινομένου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 08, 2020 7:21 pm

Ελάχιστο  γινομένου.png
Ελάχιστο γινομένου.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC , έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4 . Στην προέκταση της AB

θεωρούμε σημείο S , ώστε : BS=6 . Ευθεία διερχόμενη από το S , τέμνει τις ημιευθείες CA , CB

στα σημεία T , P αντίστοιχα . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : SP\cdot ST



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστο γινομένου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 08, 2020 10:27 pm

Θέτω AT = t,\,t \geqslant 0 .Π. Θ στο \vartriangle ATS και Θ Μενελάου στο \vartriangle ATS με διατέμνουσα \overline {PBC} κι έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{{AC}}{{CT}} \cdot \frac{{TP}}{{PS}} \cdot \frac{{SB}}{{BA}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{4}{{t + 4}} \cdot \frac{{TP}}{{PS}} \cdot \frac{6}{3} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{{TP}}{{PS}} = \frac{{t + 4}}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. ή
Ελάχιστο γινομένου.png
Ελάχιστο γινομένου.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{{TP + PS}}{{PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{{TS}}{{PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ 
  \frac{{T{S^2}}}{{TS \cdot PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Οπότε : SP \cdot ST = \boxed{f(t) = \frac{{8\left( {{t^2} + 81} \right)}}{{t + 12}}} . Αλλά f(t) \geqslant 48 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} \geqslant 0.

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο αν \boxed{t = 3} και είναι το \boxed{48}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστο γινομένου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 09, 2020 2:23 pm

Ελάχιστο  γινομένου.png
Ελάχιστο γινομένου.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Ας υποθέσουμε ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται , όταν : CT=CP . Τότε η SPT θα είναι κάθετη

προς την διχοτόμο της γωνίας \hat{C} και έτσι πετυχαίνουμε ευκλείδεια λύση , άσχετα με τα δεδομένα μεγέθη .

Υπολογισμοί : με : SP=x , PT=y και δύο φορές το θ. Μενελάου , παίρνουμε : \dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{t+4}{4}\cdot\dfrac{3}{6}=1

δηλαδή : \dfrac{y}{x}=\dfrac{t+4}{8} . Επίσης : \dfrac{4}{t}\cdot\dfrac{y+x}{x}\cdot\dfrac{t-1}{5}=1


απ' όπου : \dfrac{y+x}{x}=\dfrac{5t}{4(t-1)} , οπότε : t=3 , \dfrac{y}{x}=\dfrac{7}{8} , x+y=3\sqrt{10} (Π.Θ)

και λύνοντας : x=\dfrac{8}{5}\sqrt{10} . Δηλαδή : SP \cdot ST=48( κάτι παρόμοιο με την λύση του Νίκου ) .

Πώς όμως θα αποδείξουμε την αρχική υπόθεση ; Αναδιατυπώνω την εικασία :

Αν από σημείο S , εξωτερικό γωνίας \hat{C} φέρουμε ευθεία τέμνουσα τις πλευρές της γωνίας

στα σημεία P , T , τότε το γινόμενο SP \cdot ST ελαχιστοποιείται , όταν : CP=CT .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης