Περίκεντρο στην υποτείνουσα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 03, 2020 5:44 pm

Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png (18.23 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές
Έστω AD το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αν P, Q, I είναι τα έγκεντρα των

τριγώνων ABD, ACD, ABC αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου PIQ είναι σημείο της BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5622
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Σεπ 03, 2020 7:50 pm

Απλά μία σκέψη .... επί του πιεστηρίου.

Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο PQD τέμνει την BC και σε σημείο S, τότε, \angle PSQ =\frac{\pi}{2} και \angle SPQ =\angle PQS=\frac{\pi}{4}.
Επειδή τώρα \displaystyle{\angle QIP = \frac{{3\pi }}{4},} ο κύκλος \displaystyle{\left( {S,\;SP} \right),} με \displaystyle{SP = SQ} θα περνά από το σημείο I ……
σ.png
σ.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

(*) Σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Παρ Σεπ 04, 2020 11:00 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 04, 2020 10:42 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 03, 2020 5:44 pm
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Έστω AD το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αν P, Q, I είναι τα έγκεντρα των

τριγώνων ABD, ACD, ABC αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου PIQ είναι σημείο της BC.

Αν γράψω το περιγεγραμμένο κύκλο του ορθογωνίου τριγώνου DPQ θα έχει κέντρο

F το μέσο της υποτείνουσας PQ και αν S το σημείο τομής του με το AD,

επειδή η SD διχοτομεί την ορθή γωνία \widehat {PDQ} θα είναι SP = SQ και το \vartriangle SPQ

θα είναι ισοσκελές και ορθογώνιο .
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές
Αν τώρα ο πιο πάνω κύκλος κόψει ακόμα την BC στο K , επειδή \widehat {KDS} = 90^\circ

το σημείο K είναι αντιδιαμετρικό του S και αναγκαστικά το τετράπλευρο

SPKQ είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο στον εν λόγω κύκλο.

Ως γνωστό \boxed{\widehat {PIQ} = 90^\circ  + \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 135^\circ } και αφού η \widehat {QKS} = 45^\circ , αν γράψω τον

Κύκλο: \left( {K,KP} \right) θα διέρχεται αναγκαστικά από τα Q\,\,\kappa \alpha \iota \,\,I.


Χωρίς να έχω δει την υπόδειξη του Σωτήρη που ουσιαστικά τα λέει όλα .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Σεπ 04, 2020 2:04 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 03, 2020 5:44 pm
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Έστω AD το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αν P, Q, I είναι τα έγκεντρα των

τριγώνων ABD, ACD, ABC αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου PIQ είναι σημείο της BC.
Ας δούμε και μια άλλη εκδοχή μετά την όμορφη αντιμετώπιση από τους Σωτήρη και Νίκο

Αν K,L είναι τα σημεία τομής των AP,AC με την BC αντίστοιχα ,τότε εύκολα προκύπτει η εγγραψιμότητα σε κύκλους των τετραπλεύρων ABKI, ACLI από την οποία (εγγραψιμότητα) προκύπτει εύκολα η ομοκυκλικότητα των σημείων K,P,I,Q,L και ότι το τρίγωνο KIL είναι ορθογώνιο ισοσκελές και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Υ.Σ. Συγγνώμη που δεν μπορώ να γράψω αναλυτικά και να σχεδιάσω (υπάρχει πρόβλημα δυστυχώς(τεχνικής φύσεως όχι υγείας ευτυχώς))


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5622
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Σεπ 04, 2020 7:30 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 03, 2020 5:44 pm
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Έστω AD το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αν P, Q, I είναι τα έγκεντρα των
τριγώνων ABD, ACD, ABC αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου PIQ είναι σημείο της BC.
Για λόγους και μόνο πλουραλισμού, ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί:

Αν θεωρήσουμε το συμμετρικό του δεδομένου, και των στοιχείων του στο πρόβλημα, σχήματος, όπως δηλαδή βλέπουμε στην κάτω σχηματική απόδοση,
αρκεί να αποδείξουμε ότι I'Q \bot IC, άρα ομοίως και I'P \bot BI, οπότε το ζητούμενο κέντρο θα είναι το μέσον O του II',
που λόγω της συμμετρίας θα ανήκει στην BC.
Έχουμε: \displaystyle{(\angle I'CQ = \angle C} και \displaystyle{\;\frac{{I'C}}{{CQ}} = \frac{{IC}}{{CQ}} = \frac{{BC}}{{CA}}) \Rightarrow \vartriangle I'QC \sim \vartriangle BAC \Rightarrow \angle I'QC = \frac{\pi }{2}.}
σ.png
σ.png (31.98 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 05, 2020 10:58 am

Ευχαριστώ τον Σωτήρη, τον Νίκο και τον Στάθη για τις όμορφες λύσεις τους. Ας το δούμε και αλλιώς.
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.ΙΙ.png
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.ΙΙ.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές
Αν η QD τέμνει τον περίκυκλο του PIQ στο S, τότε επειδή \displaystyle P\widehat IQ = 135^\circ , θα είναι \displaystyle P\widehat SQ = 45^\circ .

Αλλά και \displaystyle P\widehat DB = B\widehat DS = 45^\circ , οπότε η BC είναι μεσοκάθετη του PS και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 05, 2020 11:47 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 05, 2020 10:58 am
Ευχαριστώ τον Σωτήρη, τον Νίκο και τον Στάθη για τις όμορφες λύσεις τους. Ας το δούμε και αλλιώς. Περίκεντρο στην υποτείνουσα.ΙΙ.png
Αν η QD τέμνει τον περίκυκλο του PIQ στο S, τότε επειδή \displaystyle P\widehat IQ = 135^\circ , θα είναι \displaystyle P\widehat SQ = 45^\circ .

Αλλά και \displaystyle P\widehat DB = B\widehat DS = 45^\circ , οπότε η BC είναι μεσοκάθετη του PS και το ζητούμενο έπεται.
:clap2:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Περίκεντρο στην υποτείνουσα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Σεπ 05, 2020 1:22 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 03, 2020 5:44 pm
Περίκεντρο στην υποτείνουσα.png
Έστω AD το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ABC. Αν P, Q, I είναι τα έγκεντρα των

τριγώνων ABD, ACD, ABC αντίστοιχα, να δείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου PIQ είναι σημείο της BC.
κι αλλιώς πιο μπελαλίδικα..με εγγράψιμα

Επειδή   \angle \dfrac{B}{2} + \dfrac{C}{2}=45^0 \Rightarrow  \angle EAZ= \angle ZDP=45^0  \Rightarrow PDEA εγγράψιμο  \Rightarrow EP \bot AZ και  \angle PEA=45^0

Άρα PE//IQ κι επειδή  \angle PIQ= \angle EQI=135^0 \Rightarrow PIQE ισοσκελές τραπέζιο

Επειδή  \angle IAB=45^0 και  \angle ZAB= \dfrac{C}{2}  \Rightarrow  \angle IAZ= \dfrac{B}{2}= \angle IBZ  \Rightarrow BZIA

εγγράψιμο ,άρα \angle IZE= \angle IQA=45^0 \Rightarrow ZIQE εγγράψιμο

Τελικά , Z,P,I,Q,E ομοκυκλικά με διάμετρο ZE στην οποία ανήκει το περίκεντρο του \triangle PIQ
περίκεντρο.png
περίκεντρο.png (22.94 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης