Μέγιστο παράστασης

#1

: Μέγιστο παράστασης..png (6.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Το

είναι εσωτερικό σημείο της ορθής γωνίας $x\widehat Oy$ ώστε OA=a

και $y\widehat OA=30^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία διέρχεται

από το

και τέμνει τις Ox, Oy

στα

αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του OM+ON-MN.

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 7:50 pm
Μέγιστο παράστασης..png
Το είναι εσωτερικό σημείο της ορθής γωνίας $x\widehat Oy$ ώστε και $y\widehat OA=30^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία διέρχεται
από το και τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

Γεια και Χαρά.
Είναι "κρίμα" να μείνει έτσι το πανέμορφο αυτό πρόβλημα.

Ας δούμε τον κατασκευαστικό προσδιορισμό.

Έχουμε από τη θεωρία ότι $\displaystyle{OT = OZ = \frac{{OM + ON - MN}}{2},}$ αν τα σημεία T, Z

είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο OMN

κύκλου. Επομένως θέλουμε τον μέγιστο εγγεγραμμένο αυτόν κύκλο, αφού έχουμε r = OT = OZ,

αν

είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στην τυχούσα θέση του MN.

Αυτός εύκολα βλέπουμε ότι είναι εκείνος που περνά από το σημείο

και εφάπτεται στις Ox, Oy

(μία από τις πανέμορφες κατασκευές του Απολλώνιου). Στην θέση αυτή που προκύπτει αν θεωρήσουμε την εφαπτομένη του στο σημείο του πλέον

έχουμε κατασκευαστικά το ζητούμενο άθροισμα.

Παρατήρηση: Η γωνία των ${30^ \circ }$ , από κατασκευαστική άποψη, χρησιμεύει στην εξασφάλιση ότι η εφαπτομένη αυτή που κατασκευάσαμε, δεν είναι παράλληλη σε κάποιον από τους άξονες Ox, Oy.

Μένει πλέον το υπολογιστικό μέρος, με έναν από τους τρόπους τον προσδιορισμό του σημείου

δηλαδή του μήκους

κτλ.

: bisbikis.png (29.22 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

S.E.Louridas · #3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 23, 2020 3:59 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 7:50 pm
Μέγιστο παράστασης..png
Το είναι εσωτερικό σημείο της ορθής γωνίας $x\widehat Oy$ ώστε και $y\widehat OA=30^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία διέρχεται
από το και τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του
Γεια και Χαρά.
Είναι "κρίμα" να μείνει έτσι το πανέμορφο αυτό πρόβλημα.

Ας δούμε τον κατασκευαστικό προσδιορισμό.

Έχουμε από τη θεωρία ότι $\displaystyle{OT = OZ = \frac{{OM + ON - MN}}{2},}$ αν τα σημεία είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Επομένως θέλουμε τον μέγιστο εγγεγραμμένο αυτόν κύκλο, αφού έχουμε αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στην τυχούσα θέση του Αυτός εύκολα βλέπουμε ότι είναι εκείνος που περνά από το σημείο και εφάπτεται στις (μία από τις πανέμορφες κατασκευές του Απολλώνιου). Στην θέση αυτή που προκύπτει αν θεωρήσουμε την εφαπτομένη του στο σημείο του πλέον έχουμε κατασκευαστικά το ζητούμενο άθροισμα.

Παρατήρηση: Η γωνία των ${30^ \circ }$ , από κατασκευαστική άποψη, χρησιμεύει στην εξασφάλιση ότι η εφαπτομένη αυτή που κατασκευάσαμε, δεν είναι παράλληλη σε κάποιον από τους άξονες
Μένει πλέον το υπολογιστικό μέρος, με έναν από τους τρόπους τον προσδιορισμό του σημείου δηλαδή του μήκους κτλ. bisbikis.png

: bisbikis.png (29.22 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Για τον υπολογισμό τώρα με βάση την γεωμετρική λύση που πρότεινα έχουμε:

Καταρχάς παίρνουμε $\displaystyle{A = \left( {\frac{a}{2},\,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right).}$ Αν καλέσουμε OT = OZ = x,

τότε $\displaystyle{I=\left( {x,x} \right).}$

Επομένως προκύπτει: $\displaystyle{IA=IT \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \ {x^2}$ $\Leftrightarrow{x^2} - a\left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + {a^2} = 0 \Leftrightarrow ...$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 3 + \root 4 \of {12} + 1}}{2}a}$

Τελικά ισχύει $\displaystyle{{\left( {OM + ON - MN} \right)_{\max }} = \left( {\sqrt 3 + \root 4 \of {12} + 1} \right)a.}$

(*) Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη που μου επεσήμανε ένα λάθος σε μία αντικατάσταση.

#4

Ευχαριστώ τον Σωτήρη για την κατασκευή και τον υπολογισμό. Εναλλακτικά, ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με νόμο

συνημιτόνου στο IOA

(στο σχήμα του Σωτήρη), όπου $IA=x, IO=x\sqrt 2, OA=a, I\widehat OA=15^\circ.$

Μέγιστο παράστασης

Μέγιστο παράστασης

Re: Μέγιστο παράστασης

Re: Μέγιστο παράστασης

Re: Μέγιστο παράστασης

Μέλη σε σύνδεση