ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Σας προτείνω το πρώτο θέμα από την δεύτερη ημέρα του Περιφερειακού Γύρου της Βουλγαρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας του 2008.
Το θέμα δόθηκε στους μαθητές της 11ης τάξης.
Σε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο στο οποίο και
Bρείτε το μήκος της πλευράς .
Το θέμα δόθηκε στους μαθητές της 11ης τάξης.
Σε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο στο οποίο και
Bρείτε το μήκος της πλευράς .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων, το κέντρο του κύκλου, το μέσο του και διάμετρος. Τότε:ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 13, 2020 5:50 pmΣας προτείνω το πρώτο θέμα από την δεύτερη ημέρα του Περιφερειακού Γύρου της Βουλγαρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας του 2008.
Το θέμα δόθηκε στους μαθητές της 11ης τάξης.
Σε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο στο οποίο και
Bρείτε το μήκος της πλευράς .
Εξάλλου, κι επειδή θα είναι και
Με κριτήριο καθετότητας τώρα,
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Χωρίς τις πράξεις γιατί είναι πολλές.ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 13, 2020 5:50 pmΣε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο στο οποίο και
Bρείτε το μήκος της πλευράς .
Από το τρίγωνο του οποίου ξέρουμε δύο πλευρές και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (ο κύκλος αυτός είναι ο ίδιος με τον δοθέντα στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το τετράπλευρο) έχουμε από τον Νόμο των Ημιτόνων
, οπότε , και όμοια . Άρα γνωστό το
.
Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο , υπολογίζουμε την .
Κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά με το τρίγωνο για να υπολογίσουμε την .
Έτσι, του τετραπλεύρου ξέρουμε τις τρεις πλευρές και τις δύο διαγωνίους . Από Πτολεμαίο βρίσκουμε την τέταρτη πλευρά του τετραπλεύρου.
Re: ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Ας είναι η προβολή του στην . Από τον τύπο: έχω:
.
Άρα και από το Π. Θ. στο έχω: .
Αν τώρα με όμοιο τρόπο :
Δηλαδή οπότε εύκολα με Π. Θ. στα έχω:
.
Άρα και από το Π. Θ. στο έχω: .
Αν τώρα με όμοιο τρόπο :
Δηλαδή οπότε εύκολα με Π. Θ. στα έχω:
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 13, 2020 5:50 pmΣας προτείνω το πρώτο θέμα από την δεύτερη ημέρα του Περιφερειακού Γύρου της Βουλγαρικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας του 2008.
Το θέμα δόθηκε στους μαθητές της 11ης τάξης.
Σε κύκλο ακτίνας είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο στο οποίο και
Bρείτε το μήκος της πλευράς .
Από Ήρωνα,εύκολα άρα και
ισοσκελές τραπέζιο με
Με Π.Θ στο τρίγωνο ,
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΒΟΥΛΓΑΡΙΚΟ ΘΕΜΑ 2008
Η πρώτη μου σκέψη όταν το διάβασα ήταν αυτή του Μιχάλη Λάμπρου , η έκταση όμως των πράξεων με ανάγκασε να σκεφτώ κάτι άλλο...
Παρακάτω δημοσιεύω την δική μου λύση.
Έστω το αντιδριαμετρικό του .
Φυσικά το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο
Ισχύει Mε το Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει εύκολα ότι
Kαι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο
Iσχύει ότι Mε το Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει ότι
Άρα
Συγκρίνω τα τρίγωνα και
Έχουν την πλευρά κοινή και όπως είδαμε πριν
Φυσικά (γιατί ως εγγεγραμμένες αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο)
και (γιατί ως εγγεγραμμένες αντιστοιχούν σε ίσα τόξα).
Άρα λοιπόν ισχύει ότι
Έτσι λοιπόν τα τρίγωνα και είναι ίσα. Συνεπώς
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες