Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11866
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 04, 2020 12:22 pm

Αξιοθαύμαστη  παραλληλία.png
Αξιοθαύμαστη παραλληλία.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Στην κάθετη στις βάσεις πλευρά AB του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD , βρίσκεται σημείο S , τέτοιο ώστε : DS \perp SC .

Φέρουμε : ST \perp CD και ονομάζουμε P,Q τις τομές των AT , DS και BT , CS αντίστοιχα . Δείξτε ότι : PQ \parallel AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1906
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Αύγ 04, 2020 1:56 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 04, 2020 12:22 pm
Αξιοθαύμαστη παραλληλία.pngΣτην κάθετη στις βάσεις πλευρά AB του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD , βρίσκεται σημείο S , τέτοιο ώστε : DS \perp SC .

Φέρουμε : ST \perp CD και ονομάζουμε P,Q τις τομές των AT , DS και BT , CS αντίστοιχα . Δείξτε ότι : PQ \parallel AB .
Από τα εγγράψιμα ASTD,TCBS οι γωνίες x είναι ίσες όπως και οι y με

x+y=y+ \omega =90^0 \Rightarrow x= \omega  \Rightarrow TQSP εγγράψιμο.Άρα PQ//AB
Παραλληλία.png
Παραλληλία.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 04, 2020 2:14 pm

Τα ASTD, BSTC είναι εγγράψιμα, άρα \displaystyle D\widehat TA = D\widehat SA,B\widehat TC = B\widehat SC

κι επειδή \displaystyle D\widehat SA + B\widehat SC = 90^\circ  \Rightarrow A\widehat TB = 90^\circ.
4 καθ και 1 παρ..png
4 καθ και 1 παρ..png (19.09 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Από τα εγγράψιμα ASTD, TPSQ προκύπτει ότι οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με \omega και οι πράσινες με \varphi.

Αλλά \displaystyle SC^2 = CT \cdot CD, οπότε η CS εφάπτεται στον περίκυκλο του ASTD, δηλαδή \displaystyle  \omega= \varphi  \Leftrightarrow \boxed{PQ||AB}


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Τέσσερις καθετότητες και μια παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Τετ Αύγ 05, 2020 2:15 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 04, 2020 12:22 pm
Αξιοθαύμαστη παραλληλία.pngΣτην κάθετη στις βάσεις πλευρά AB του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD , βρίσκεται σημείο S , τέτοιο ώστε : DS \perp SC .

Φέρουμε : ST \perp CD και ονομάζουμε P,Q τις τομές των AT , DS και BT , CS αντίστοιχα . Δείξτε ότι : PQ \parallel AB .
παραλληλία.PNG
παραλληλία.PNG (21.1 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
Τα τρίγωνα DTS,STC αλλά και τα DAS, SBC είναι όμοια διότι είναι ορθογώνια και οι πορτοκαλί (αντίστοιχα μπλε) γωνίες είναι ίσες

ως συμπληρώματα της γωνίας S_1 (αντίστοιχα S_2). Προκύπτει επομένως ότι και τα τετράπλευρα ASTD, BCTS είναι
όμοια.

Συνεπώς ο λόγος δύο ομόλογων (αντίστοιχων) στοιχείων τους θα είναι σταθερός / ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

Οπότε \frac{TP}{TQ}=\frac{TA}{TB}. Έπεται εξ αυτού ότι PQ||AB


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης