Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 30, 2020 5:07 pm

Είδαμε πρόσφατα εδώ και εδώ και εδώ και εδώ αλλά και παλαιότερα εδώ και εδώ μία ιδιαίτερα δημοφιλή κατηγορία τριγώνων.

Εκείνα όπου το ορθόκεντρο είναι μέσο ενός ύψους. Ας δούμε λοιπόν κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν αυτά τα τρίγωνα.
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png (13.45 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC και το ορθόκεντρο H είναι μέσο του AD. Να δείξετε ότι:

1. \displaystyle A{D^2} = 2BD \cdot DC ................. 2. \displaystyle \tan B \cdot \tan C = 2 ................... 3. \displaystyle \cos A = \cos B \cdot \cos C

4. \displaystyle {b^2} + {c^2} - {a^2} = A{D^2} ............... 5. \displaystyle 3{a^2} + {b^2} + {c^2} =16 {R^2} ............. 6. \displaystyle 3EF = DE + DF


Τα δύο πρώτα έχουν ήδη αποδειχθεί στις παραπομπές, εκτός και αν υπάρχουν κάποιες καινούργιες ιδέες.



Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1045
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Αύγ 09, 2020 7:20 pm

Noμίζω ότι η πρώτη φορά που είδαμε την πρώτη ισότητα από τις έξη , είναι στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=58&t=38656&p=180589&hil ... 82#p180589.
Στην λύση που δημοσίευσα τότε, μπορείτε να δείτε ότι βασίστηκα στην ισότητα BD\cdot DC=DH\cdot DA.
Aναφέρομαι στο σχήμα του Γιώργου Βισβίκη της παρούσας δημοσίευσης.
Tώρα θα αποδειχθεί η τρίτη ισότητα από αυτές που προτείνει ο Γιώργος.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο FAC προκύπτει ότι \displaystyle cosA=\frac{AF}{b}

Από το ορθογώνιο τρίγωνο DBA προκύπτει ότι \displaystyle cosB=\frac{BD}{c}

Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο DAC προκύπτει ότι \displaystyle cosC=\frac{DC}{b}

Έτσι λοιπόν  \displaystyle cosB \cdot cosC=\frac{BD}{c}\cdot\frac{DC}{b}=\frac{BD\cdot DC}{c\cdot b}=\frac{DH\cdot DA}{c\cdot b}

Aπό το εγγράψιμο τετράπλευρο HDBF προκύπτει ότι DH\cdot DA=AH\cdot DA=AF\cdot AB

Συνεπώς \displaystyle cosB \cdot cosC=\frac{AF\cdot AB}{c\cdot b}=\frac{AF}{b}

Αποδείχθηκε ότι cosA=cosB \cdot cosC


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1045
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Αύγ 17, 2020 6:46 pm

Θα αποδειχθεί η τέταρτη και πέμπτη ισότητα.

Έχουμε δει ότι AD^{2}=2\cdot BD\cdot DC και cosA=cosB\cdot cosC.

Από το νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC προκύπτει ότι
\displaystyle cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

Στην προηγούμενη δημοσίευση είδαμε ότι
\displaystyle cosB=\frac{BD}{c} και ότι \displaystyle cosC=\frac{DC}{b}

Έτσι λοιπόν
\displaystyle cosA=cosB\cdot cosC\Rightarrow \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{BD}{c}\cdot \frac{DC}{b}\Rightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=2\cdot BD\cdot DC\Rightarrow

 b^{2}+c^{2}-a^{2}=AD^{2}

Aποδείχθηκε η τέταρτη ισότητα , ας δούμε την πέμπτη.

Φυσικά ισχύει AD^{2}=\left ( 2\cdot AH \right )^{2}=4\cdot AH^{2} και ξέρουμε επίσης ότι AH^{2}=4R^{2}-a^{2}

Έτσι λοιπόν η τέταρτη ισότητα μπορεί να γραφεί b^{2}+c^{2}-a^{2}=4\left (4R^{2}-a^{2}  \right ) η οποία με την σειρά της δίνει την

b^{2}+c^{2}+3a^{2}=16R^{2}

Αποδείχθηκε και η πέμπτη ισότητα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 18, 2020 11:35 am

Να ευχαριστήσω τον φίλο Τηλέμαχο για τις αποδείξεις του στα ερωτήματα 3,4 και 5.
Απομένει αναπάντητο μόνο το ερώτημα 6.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 18, 2020 4:34 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Αύγ 18, 2020 11:35 am
Να ευχαριστήσω τον φίλο Τηλέμαχο για τις αποδείξεις του στα ερωτήματα 3,4 και 5.
Απομένει αναπάντητο μόνο το ερώτημα 6.
Επειδή έχω πρόβλημα με το mathtype να πω ότι δύο φορές το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο ποδικό τρίγωνο και 4 θεωρήματα Μενελάου σε κατάλληλα τρίγωνα δίνουν απάντηση στο πρόβλημα

Αν κάποιος θέλει να το γράψει ας μου στείλει ένα μήνυμα να του στείλω σε φωτογραφία τη λύση

Ευχαριστώ
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 244
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Αύγ 18, 2020 5:31 pm

Καλησπέρα!

Διαφορετικά για το 6:

Έστω K\equiv AD\cap FE.

Τότε έχω διαδοχικά:

tanBtanC=2\Leftrightarrow \dfrac{AF}{FH}\cdot \dfrac{AE}{EH}=2 \Leftrightarrow AF\cdot AEsinA=2FH\cdot EHsinA\Leftrightarrow

(FAE)=2(FHE)\Leftrightarrow AK=2KH\Leftrightarrow DK=4KH\Leftrightarrow

(FDE)=4(FHE)\Leftrightarrow sr=2FEr\Leftrightarrow s=2FE\Leftrightarrow

   FE+DE+DF=4FE\Leftrightarrow 3EF=DE+DF.


Κώστας Σφακιανάκης
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Αύγ 18, 2020 7:03 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 30, 2020 5:07 pm
Είδαμε πρόσφατα εδώ και εδώ και εδώ και εδώ αλλά και παλαιότερα εδώ και εδώ μία ιδιαίτερα δημοφιλή κατηγορία τριγώνων.

Εκείνα όπου το ορθόκεντρο είναι μέσο ενός ύψους. Ας δούμε λοιπόν κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν αυτά τα τρίγωνα.
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC και το ορθόκεντρο H είναι μέσο του AD. Να δείξετε ότι:

1. \displaystyle A{D^2} = 2BD \cdot DC ................. 2. \displaystyle \tan B \cdot \tan C = 2 ................... 3. \displaystyle \cos A = \cos B \cdot \cos C

4. \displaystyle {b^2} + {c^2} - {a^2} = A{D^2} ............... 5. \displaystyle 3{a^2} + {b^2} + {c^2} =16 {R^2} ............. 6. \displaystyle 3EF = DE + DF


Τα δύο πρώτα έχουν ήδη αποδειχθεί στις παραπομπές, εκτός και αν υπάρχουν κάποιες καινούργιες ιδέες.


6.Είναι γνωστό (η απόδειξη είναι απλή)ότι με P,Q συμμετρικά τoυ D ως προς τις AB,AC τα P,F,E,Q είναι συνευθειακά

MD=2FH \Rightarrow \dfrac{FH}{PD} = \dfrac{KH}{KD}= \dfrac{1}{4}  \Rightarrow  \dfrac{DH}{HK} =3

 HE//DQ \Rightarrow  \dfrac{EQ}{EK}= \dfrac{DH}{HK}=3    \Rightarrow EQ=ED=3EK(1) ) και

FH//PD \Rightarrow  \dfrac{FP}{FK}= \dfrac{HD}{HK}=3 \Rightarrow PF=FD=3FK  (2)

(1)+(2) \Rightarrow PF+QE=3(FK+KE )=3FE \Rightarrow  FD+ED=3FE
ορθόκεντρο μέσο του ύψους 6.png
ορθόκεντρο μέσο του ύψους 6.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Αύγ 18, 2020 7:18 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Ιούλ 30, 2020 5:07 pm
Είδαμε πρόσφατα εδώ και εδώ και εδώ και εδώ αλλά και παλαιότερα εδώ και εδώ μία ιδιαίτερα δημοφιλή κατηγορία τριγώνων.

Εκείνα όπου το ορθόκεντρο είναι μέσο ενός ύψους. Ας δούμε λοιπόν κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν αυτά τα τρίγωνα.
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png
AD, BE, CF είναι τα ύψη τριγώνου ABC και το ορθόκεντρο H είναι μέσο του AD. Να δείξετε ότι:

1. \displaystyle A{D^2} = 2BD \cdot DC ................. 2. \displaystyle \tan B \cdot \tan C = 2 ................... 3. \displaystyle \cos A = \cos B \cdot \cos C

4. \displaystyle {b^2} + {c^2} - {a^2} = A{D^2} ............... 5. \displaystyle 3{a^2} + {b^2} + {c^2} =16 {R^2} ............. 6. \displaystyle 3EF = DE + DF


Τα δύο πρώτα έχουν ήδη αποδειχθεί στις παραπομπές, εκτός και αν υπάρχουν κάποιες καινούργιες ιδέες.

ερώτημα 6

Θα αποδειχθεί οτι \dfrac{DE}{EF}+\dfrac{DF}{EF}=3

Από το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο FDE,\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{KD}{KF},(1), \dfrac{DF}{EF}=\dfrac{DL}{LE},(2), (1)+(2)\Rightarrow \dfrac{DE}{EF}+\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{KD}{KF}+\dfrac{DL}{LE},(*)

Από Μενέλαο στο τρίγωνο AFD με τέμνουσα BKH ,\dfrac{KD}{KF}=\dfrac{AB}{BF}=1+\dfrac{AF}{BF},(3)
Ομοίως στο τρίγωνο ADE με τέμνουσα HLC,\dfrac{DL}{EC}=1+\frac{AE}{EC},(4)
Συνεπώς θα αποδειχθεί ότι \dfrac{AB}{BF}+\dfrac{CA}{EC}=2+\dfrac{AE}{EC}+\dfrac{AF}{BF},(5)
Απο Μενέλαο στο τρίγωνο ABD με τέμνουσα CHF,\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{FA}{FB},(6)
Ομοίως στο τρίγωνο ADC με τέμνουσα BHE,\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{EA}{EC},(7), (6)+(7)\Rightarrow 1=\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{EA}{EC} τέλος


ΥΓ. Η λύση είνα απο την υποδειξη του ΣΤΑΘΗ .Η δική μου τριγωνομετρική λύση εχει πολλες πραξεις την αφησα
Συνημμένα
Το ορθόκεντρο μέσο υψους.png
Το ορθόκεντρο μέσο υψους.png (44.12 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 21, 2020 7:02 pm

Αφού ευχαριστήσω και τους Στάθη, Κώστα, Μιχάλη και Γιάννη για τις αποδείξεις τους στο ερώτημα 6, θα δώσω άλλη μία προσέγγιση.

Αν M είναι το μέσο του AH, τότε \displaystyle MA = MH = ME = MF = \frac{{AD}}{4} και \displaystyle MD = \frac{{3AD}}{4}.
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.β.png
Ορθόκεντρο μέσο ύψους.β.png (16.15 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Το FMED είναι όμως εγγράψιμο (κύκλος \displaystyle {\rm{Euler}}), άρα από θεώρημα Πτολεμαίου:

\displaystyle MF \cdot DE + ME \cdot DF = MD \cdot EF \Leftrightarrow \frac{{AD}}{4}(DE + DF) = \frac{{3AD}}{4}EF \Leftrightarrow \boxed{DE+DF=3EF}


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1045
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Αύγ 24, 2020 6:04 pm

Θα ήθελα να γράψω την δική μου απόδειξη για την έκτη ισότητα.

Σίγουρα συμφωνούμε όλοι ότι για να έχει νόημα το θέμα το τρίγωνο ABC οφείλει να είναι οξυγώνιο.
Το τρίγωνο  D E F είναι βέβαια το ορθικό τρίγωνο του ABC.
Aπό την παρακάτω δημοσίευση viewtopic.php?f=58&t=38659
προκύπτει ότι DE+EF+FD=4RsinAsinBsinC και ότι EF=\alpha cosA

H ισότητα που θέλω να αποδείξω είναι ισοδύναμη με την DE+EF+FD=4EF
η οποία με την σειρά της είναι ισοδύναμη με την
4RsinAsinBsinC=4\alpha cosA
η οποία ισοδυναμεί με την
4RsinAsinBsinC=4\cdot 2RsinA cosA
η οποία ισοδυναμεί με την
sinBsinC=2 cosA (I)

Αυτήν την ισότητα, την (I) , θα αποδείξω...

Η δεύτερη ισότητα του θέματος ( η οποία προκύπτει άμεσα από την πρώτη) μας εξασφαλίζει ότι
tanB tanC=2\Rightarrow sinB sinC=2cosBcosC (II)

H (I) με την βοήθεια της (II) γράφεται ισοδύναμα
cosBcosC=cosA
που φυσικά είναι η τρίτη ισότητα του θέματος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης