Κατασκευή ή υπολογισμοί

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατασκευή ή υπολογισμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 27, 2020 1:04 pm

Κατασκευή ή  υπολογισμοί.png
Κατασκευή ή υπολογισμοί.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Ο μαύρος κύκλος έχει εξίσωση : x^2+y^2=9 , ενώ ο μπλε : (x-5)^2+y^2=4 . Καλείσθε να σχεδιάσετε

τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος πρέπει να εφάπτεται των δύο άλλων ( του μαύρου στο προκαθορισμένο σημείο A )

και οι δύο πρώτοι κύκλοι να βρίσκονται στο εσωτερικό του . Αν λύσετε το πρόβλημα με ευκλείδεια ( απολλώνια ; )

γεωμετρία , υπολογίστε τουλάχιστον την ακτίνα του κόκκινου κύκλου .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κατασκευή ή υπολογισμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 27, 2020 2:15 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 27, 2020 1:04 pm
Κατασκευή ή υπολογισμοί.pngΟ μαύρος κύκλος έχει εξίσωση : x^2+y^2=9 , ενώ ο μπλε : (x-5)^2+y^2=4 . Καλείσθε να σχεδιάσετε

τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος πρέπει να εφάπτεται των δύο άλλων ( του μαύρου στο προκαθορισμένο σημείο A )

και οι δύο πρώτοι κύκλοι να βρίσκονται στο εσωτερικό του . Αν λύσετε το πρόβλημα με ευκλείδεια ( απολλώνια ; )

γεωμετρία , υπολογίστε τουλάχιστον την ακτίνα του κόκκινου κύκλου .
Επειδή το (-1,a) είναι τον μαύρο κύκλο έπεται a=2\sqrt 2. Αν το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το K(p,q) και R η ακτίνα του, έχουμε

α) (-1-p)^2+(2\sqrt 2-q)^2 = R^2 διότι το (-1,2\sqrt 2) είναι στον μεγάλο κύκλο,

β) (5-p)^2+q^2 = (R-2)^2 διότι λόγω επαφής η απόσταση KO είναι όσο η διαφορά των αντίστοιχων ακτίνων,

γ) p^2+q^2 = (R-3)^2 ομοίως.

Λύνοντας (απλό) θα βρούμε  R = \dfrac {15}{2}, \, p =  \dfrac {3}{2}, \, q= -3\sqrt 2

(Έκανα δύο φορές έλεγχο στις πράξεις, άρα η πινανότητα να είναι σωστές, ... μεγαλώνει)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ή υπολογισμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:45 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 27, 2020 1:04 pm
Κατασκευή ή υπολογισμοί.pngΟ μαύρος κύκλος έχει εξίσωση : x^2+y^2=9 , ενώ ο μπλε : (x-5)^2+y^2=4 . Καλείσθε να σχεδιάσετε

τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος πρέπει να εφάπτεται των δύο άλλων ( του μαύρου στο προκαθορισμένο σημείο A )

και οι δύο πρώτοι κύκλοι να βρίσκονται στο εσωτερικό του . Αν λύσετε το πρόβλημα με ευκλείδεια ( απολλώνια ; )

γεωμετρία , υπολογίστε τουλάχιστον την ακτίνα του κόκκινου κύκλου .
Το κέντρο K του ζητούμενου κύκλου βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία AO. Αρκεί να υπολογίσω την ακτίνα R.
Κατ. ή Υπολ..png
Κατ. ή Υπολ..png (26.66 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
\displaystyle \cos \theta  = \sin \omega  = \frac{1}{3} και με νόμο συνημιτόνου στο KOQ: \displaystyle {(R - 2)^2} = {(R - 3)^2} + 25 - 10(R - 3)\frac{1}{3} \Leftrightarrow \boxed{R=\frac{15}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ή υπολογισμοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 27, 2020 5:57 pm

Κατασκευή .
Κατασκευή ή υπολογισμοί.png
Κατασκευή ή υπολογισμοί.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Αρκεί να βρεθεί το σημείο επαφής B.

Προς τούτο φέρνουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο δεδομένων κύκλων

και την εφαπτομένη στο A του κύκλου \left( O \right)που τέμνονται στο S( ριζικό κέντρο )

Ο κύκλος \left( {S,SA} \right) τέμνει τον κύκλο \left( Q \right) στο B( και στο Eπου είναι το κοινό σημείο των δεδομένων κύκλων).

Θα ψάξω για το υπολογισμό της ακτίνας ( με διαφορετικό τρόπο απ’ αυτούς που δόθηκαν)


Παρατήρηση: Με τα νούμερα που δόθηκαν υπάρχει πιο απλούστερη κατασκευή αλλά προϋποθέτει τον υπολογισμό της ακτίνας KA.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης