Διέλευση από το μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4047
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Διέλευση από το μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιούλ 23, 2020 8:15 pm

Διέλευση από το μέσο.png
Διέλευση από το μέσο.png (19.74 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και DE\parallel BC,D\in AB,E\in AC . Αν T,K είναι οι ορθές προβολές των S,M επί την DE αντίστοιχα, όπου S\equiv BE\cap CD και M το μέσο της BC να δειχθεί ότι η AT διέρχεται από το μέσο (έστω N) της MK

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Διέλευση από το μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Ιούλ 23, 2020 9:22 pm

Καλησπέρα,
Απο γνωστή πρόταση, τα σημεία A,S,M συνευθειακά, . Έστω P\equiv ASM\cap DE. Με θ.Μενελάου στο τρίγωνο PKM, διατέμνουσας ATN είναι:

\dfrac{NK}{NM}\cdot \dfrac{AM}{AP}\cdot \dfrac{TP}{TK}=1\Leftrightarrow \dfrac{NK}{NM}=\dfrac{AP}{AM}\cdot \dfrac{TK}{TP}=\dfrac{DE}{BC}\cdot \dfrac{SM}{SP}=\dfrac{SP}{SM}\cdot \dfrac{SM}{SP}=1 και τελειώσαμε.
Διέλευση από το μέσο.png
Διέλευση από το μέσο.png (32.89 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διέλευση από το μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 24, 2020 11:14 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 23, 2020 8:15 pm
Διέλευση από το μέσο.pngΈστω τρίγωνο \vartriangle ABC και DE\parallel BC,D\in AB,E\in AC . Αν T,K είναι οι ορθές προβολές των S,M επί την DE αντίστοιχα, όπου S\equiv BE\cap CD και M το μέσο της BC να δειχθεί ότι η AT διέρχεται από το μέσο (έστω N) της MK

Στάθης
H AM τέμνει την DE στο P και η AT την BC στο Q. Ως γνωστόν, το P είναι μέσο του DE και A, P, S, M συνευθειακά
Από το μέσο.ΣΚ.png
Από το μέσο.ΣΚ.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
\displaystyle \frac{{AP}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{PE}}{{BM}} = \frac{{PS}}{{SM}} = \frac{{PT}}{{TK}}. Αλλά, \displaystyle \frac{{AP}}{{AM}} = \frac{{PT}}{{MQ}}

Άρα MQ||=TK, οπότε το TKQM είναι παραλληλόγραμμο και N είναι το μέσο του MK.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης