mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 13, 2020 6:49 pm**

: Ισοπλευρικά περίεργα.png (20.02 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, επιλέγουμε σημεία S , T

της

, ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$

και : $TC=\dfrac{BC}{5}$ ... α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SAT}$ . β) Οι διχοτόμοι των $\hat{B} ,\hat{C}$ ,

τέμνουν τις AT , AS

στα

αντίστοιχα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(APQ)}{(PQTS)}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 13, 2020 11:43 pm**

: Ισοπλευρικά περίεργα_1.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

α)Από το τρίγωνο ABS

θ. συνημίτονου :

$A{T^2} = A{B^2} + B{T^2} - AB \cdot BT \Rightarrow 81{m^2} = 225{k^2} + 144{k^2} - 180{k^2}$ και άρα : $\boxed{{m^2} = \frac{7}{3}{k^2}}$

Έτσι : $TS \cdot TB = TQ \cdot TA \Leftrightarrow 7k \cdot 12k = 4m \cdot 9m \Leftrightarrow 84{k^2} = 36{m^2} \Leftrightarrow 7{k^2} = 3{m^2}$ αληθής ,

οπότε το τετράπλευρο , ABSQ

είναι εγγράψιμο συνεπώς $\theta = 30^\circ$ .

: Ισοπλευρικά περίεργα_2.png (22.64 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

β)
$\boxed{\frac{{\left( {APQ} \right)}}{{\left( {AST} \right)}} = \frac{{15tm}}{{45tm}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{\left( {APQ} \right)}}{{\left( {AST} \right) - \left( {APQ} \right)}} = \frac{1}{{3 - 1}} \Rightarrow \frac{{\left( {APQ} \right)}}{{\left( {PSTQ} \right)}} = \frac{1}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 14, 2020 9:40 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 6:49 pm
Ισοπλευρικά περίεργα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο , επιλέγουμε σημεία της , ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$

και : $TC=\dfrac{BC}{5}$ ... α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SAT}$ .

Αλλιώς για το α)

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου. Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο ABC

και τέμνουσα

παίρνω:

: Ισοπλευρικά περίεργα.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

$\displaystyle {a^2} = A{S^2} + \frac{a}{3} \cdot \frac{{2a}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{A{S^2} = \frac{{7{a^2}}}{9}}$ και ομοίως $\boxed{A{T^2} = \frac{{21{a^2}}}{{25}}}$

Τέλος με ν. συνημιτόνου στο AST,

$\displaystyle \frac{{49{a^2}}}{{225}} = \frac{{21{a^2}}}{{25}} + \frac{{7{a^2}}}{9} - \frac{{14{a^2}\sqrt 3 }}{{15}}\cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=30^\circ}$

mathematica.gr

Ισοπλευρικά περίεργα

Ισοπλευρικά περίεργα

Re: Ισοπλευρικά περίεργα

Re: Ισοπλευρικά περίεργα