Κορύφωση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12829
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κορύφωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιούλ 09, 2020 6:01 pm

Κορύφωση.png
Κορύφωση.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Η κάθετη πλευρά AC=b , ορθογωνίου τριγώνου ABC , είναι σταθερή , αντίθετα με την άλλη κάθετη πλευρά

AB=c , η οποία μεταβάλλεται . Το M είναι το μέσο της AB . Φέρουμε AS \perp CB και AT \perp CM .

Υπολογίστε συναρτήσει των b,c , το τμήμα ST και βρείτε την \tan\hat{B} , την στιγμή που το ST μεγιστοποιείται .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κορύφωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 09, 2020 6:41 pm

Τα σημεία S,T διαγράφουν σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOC}  = b.Ας είναι D το σημείο τομής των ευθειών AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC.
Κορύφωσση_new_a.png
Κορύφωσση_new_a.png (21.11 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Το σημείο τομής H των AM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS είναι ορθόκεντρο του \vartriangle ADC .

Η ευθεία HD είναι πάντα παράλληλη στην AB.

Η χορδή ST του ημικυκλίου γίνεται μέγιστη όταν το ύψος του ισοσκελούς

τριγώνου OTS γίνει ελάχιστο δηλαδή ο φορέας του συμπέσει με την HD

Τότε :
Κορύφωσση_new_b.png
Κορύφωσση_new_b.png (24.36 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές


Το σημείο T θα είναι βαρύκεντρο του \vartriangle ABC και ST//MD, άρα

\boxed{ST = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{b}{3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = \frac{1}{3}BC} εύκολα δε \boxed{\tan \theta  = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{{b\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κορύφωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 12, 2020 11:06 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 09, 2020 6:01 pm
Κορύφωση.pngΗ κάθετη πλευρά AC=b , ορθογωνίου τριγώνου ABC , είναι σταθερή , αντίθετα με την άλλη κάθετη πλευρά

AB=c , η οποία μεταβάλλεται . Το M είναι το μέσο της AB . Φέρουμε AS \perp CB και AT \perp CM .

Υπολογίστε συναρτήσει των b,c , το τμήμα ST και βρείτε την \tan\hat{B} , την στιγμή που το ST μεγιστοποιείται .
Κορύφωση.png
Κορύφωση.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
\displaystyle CS = \frac{{{b^2}}}{a},CM = \frac{{\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} }}{2} \Leftrightarrow CM = \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2},CT = \frac{{{b^2}}}{{CM}},AS = \frac{{bc}}{a},AT = \frac{{bc}}{{2CM}}

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο ATSC είναι \displaystyle ST \cdot b + CS \cdot AT = AS \cdot CT και αντικαθιστώντας τα τμήματα που

βρήκα παραπάνω, καταλήγω στο \boxed{ST = \frac{{{b^2}c}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {4{b^2} + c^2} }}}

Εδώ θα χρησιμοποιήσω τη σχέση \displaystyle ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2}) \ge {(ax+ by)^2}, (το ίσον όταν ay=bx). Άρα,

\displaystyle ST \le \frac{{{b^2}c}}{{\sqrt {{{(bc + 2bc)}^2}} }} \Leftrightarrow ST \le \frac{b}{3}, με το μέγιστο να επιτυγχάνεται όταν c=b\sqrt 2. Άρα, \boxed{\tan \theta  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης