Τετραγωνικά φαινόμενα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11895
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετραγωνικά φαινόμενα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 06, 2020 10:42 am

Τετραγωνικά  φαινόμενα.png
Τετραγωνικά φαινόμενα.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές
Στο εσωτερικό του σταθερής πλευράς a , τετραγώνου ABCD , σχεδιάζουμε το μεταβλητής πλευράς b ,

τετράγωνο AEZH . Η HZ προεκτεινόμενη , τέμνει την BC στο T ενώ η DZ τέμνει την AT στο S .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου \dfrac{AT}{DZ} , καθώς και την \tan\widehat{DSA} , την στιγμή της μεγιστοποίησης .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετραγωνικά φαινόμενα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 06, 2020 4:46 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 06, 2020 10:42 am
Τετραγωνικά φαινόμενα.pngΣτο εσωτερικό του σταθερής πλευράς a , τετραγώνου ABCD , σχεδιάζουμε το μεταβλητής πλευράς b ,

τετράγωνο AEZH . Η HZ προεκτεινόμενη , τέμνει την BC στο T ενώ η DZ τέμνει την AT στο S .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου \dfrac{AT}{DZ} , καθώς και την \tan\widehat{DSA} , την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Τετραγωνικά φαινόμενα.png
Τετραγωνικά φαινόμενα.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Η συνάρτηση \displaystyle f(b) = {\left( {\frac{{AT}}{{DZ}}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {{(a - b)}^2}}} έχει παράγωγο \displaystyle f'(b) = \frac{{2a( - {b^2} - ab + {a^2})}}{{{{(2{b^2} - 2ab + {a^2})}^2}}}

και παρουσιάζει μέγιστο για \boxed{b = \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2} = \frac{a}{\Phi }} Η μέγιστη αυτή τιμή είναι:

\displaystyle f\left( {\frac{a}{\Phi }} \right) = \frac{{{a^2}\left( {1 + \frac{1}{{{\Phi ^2}}}} \right)}}{{{a^2}\left( {\frac{1}{{{\Phi ^2}}} + \frac{{{{(\Phi  - 1)}^2}}}{{{\Phi ^2}}}} \right)}} = \frac{{{\Phi ^2} + 1}}{{{\Phi ^2} - 2\Phi  + 2}} = \frac{{\Phi  + 2}}{{3 - \Phi }} = {\Phi ^2} \Rightarrow \boxed{ {\left( {\frac{{AT}}{{DZ}}} \right)_{\max }} = \Phi }

\displaystyle \frac{{PT}}{{AP}} = \frac{{a - b}}{b} \Leftrightarrow \frac{{AT}}{{AP}} = \frac{a}{b} = \Phi  \Leftrightarrow AP = DZ \Leftrightarrow \boxed{SZ = SP \Leftrightarrow \theta  = 2\omega}

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = \frac{{2\frac{b}{a}}}{{1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}} = \frac{{2\Phi }}{{{\Phi ^2} - 1}} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  = 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης