Σελίδα 1 από 1
Με απλά "μέσα"
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο
, με
και έστω
ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη
και
. Ες είναι
ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου
. Οι ευθείες
και
τέμνονται στο
, ενώ οι
και
στο
. Τέλος , αν
το συμμετρικό του
ως προς το
, να αποδείξετε ότι
.
Re: Με απλά "μέσα"
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 28, 2020 1:02 am
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο
, με
και έστω
ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη
και
. Ες είναι
ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου
. Οι ευθείες
και
τέμνονται στο
, ενώ οι
και
στο
. Τέλος , αν
το συμμετρικό του
ως προς το
, να αποδείξετε ότι
.
Γεια σου Δημήτρη
Έστω
ορθόκεντρο του
και
.
Είναι
άρα
και επίσης
οπότε
.
Είναι γνωστό ότι
οπότε
και έτσι
.
Αντικαθιστώντας στην
έχουμε
και έτσι από το θεώρημα του Θαλή έχουμε το ζητούμενο.
- 329.PNG (32.19 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές
Re: Με απλά "μέσα"
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 28, 2020 4:53 am
από Doloros
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο
, με
και έστω
ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη
και
. Ες είναι
ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου
. Οι ευθείες
και
τέμνονται στο
, ενώ οι
και
στο
. Τέλος , αν
το συμμετρικό του
ως προς το
, να αποδείξετε ότι
.
Το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο γιατί οι κορυφές του
βλέπουν υπό ίσες ( και μάλιστα ορθές γωνίες ) τη πλευρά
.
Στο τρίγωνο
η
είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος άρα αυτό θα είναι ισοσκελές ,
οπότε η
είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του .
Δηλαδή :
. Αλλά
ως εγγεγραμμένες στο μικρό τόξο της χορδής
.
- με απλά μέσα.png (42.23 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές
Έτσι
. Αλλά λόγω του προαναφερθέντος εγγραψίμου τετραπλεύρου
θα είναι :
και η προηγούμενη δίδει:
που μου εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο.
Από τα εγγράψιμα τώρα τετράπλευρα :
και
έχω ταυτόχρονα:
Re: Με απλά "μέσα"
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 28, 2020 11:29 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο
, με
και έστω
ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Φέρουμε τα ύψη
και
. Ες είναι
ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου
. Οι ευθείες
και
τέμνονται στο
, ενώ οι
και
στο
. Τέλος , αν
το συμμετρικό του
ως προς το
, να αποδείξετε ότι
.
Με
και από την προφανή ισότητα των κόκκινων γωνιών,
είναι εγγράψιμο
Όμως
ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών
,επομένως ,
,συνεπώς
- Με απλά μέσα.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές