Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 830
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 27, 2020 12:16 pm

Έστω τρίγωνο \rm ABC και \rm A_1,B_1,C_1 τα μέσα των τμημάτων \rm BC,AC,AB αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους \rm (A,AA_1),(B,BB_1),(C,CC_1).
Να δείξετε ότι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων ανήκει στην ευθεία \rm Euler του \rm ABC.


328.PNG
328.PNG (47.48 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
giannisd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Σάβ Ιουν 27, 2020 7:54 pm

Μια λύση με μιγαδικούς σχετικά καθαρή.

Έστω P μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα το ορθόκεντρο H και το κέντρο του κύκλου Euler N, και K,L,M τα μέσα των BC,CA,AB αντίστοιχα.
Θα δείξουμε ότι το P είναι το ζητούμενο ριζικό κέντρο.
Αρκεί νδο
\displaystyle{|PA^2-AK^2|=|PB^2-BL^2|=|PC^2-CM^2|}

Έστω (ABC) ο μοναδιαίος κύκλος.
Άρα k = \dfrac{1}{2} (b+c), h=a+b+c και n = \dfrac{a+b+c}{2}, επομένως p=\dfrac{3}{4}(a+b+c) και \overline p = \dfrac{3}{4}\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right ).
Οπότε
\displaystyle{PA^2 = |p-a|^2 = (p-a)(\overline p - \overline a) = OP^2 - a\overline p - \overline a p + 1 = OP^2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right )}
και
\displaystyle{AK^2 = |a-k|^2=(a-k)(\overline a - \overline k) = 1 - k\overline a - a\overline k + k\overline k = 1 - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{a}\right ) - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}\right ) + \dfrac{1}{4}\left (2 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}\right )}
Τότε
\displaystyle{|PA^2-AK^2| = \left |OP^2 - 2 - \dfrac{1}{4} \sum_{sym}\dfrac{a}{b}}\right |

Και το ζητούμενο έπεται λόγω συμμετρίας ως προς a,b,c.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης