Καθετότητα και ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Καθετότητα και ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am

Καθετότητα  και ίσα τμήματα.png
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
Το \displaystyle M είναι σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε \displaystyle BM = MC\sqrt 3.

Αν ο κύκλος (B, BA) τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας M\widehat AC στο E να δείξετε ότι BE\bot AM και CE=CM.



Λέξεις Κλειδιά:
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Καθετότητα και ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Σάβ Ιουν 20, 2020 11:20 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το \displaystyle M είναι σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε \displaystyle BM = MC\sqrt 3.

Αν ο κύκλος (B, BA) τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας M\widehat AC στο E να δείξετε ότι BE\bot AM και CE=CM.
Μια γρήγορη λύση για το πρώτο ερώτημα.
καθετότητα και ισότητα.png
καθετότητα και ισότητα.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Για να ισχείει το ζητούμενο πρέπει H\widehat{A}E + H\widehat{E}A=90
ή αλλιώς E\widehat{A}C+B\widehat{A}E=90 (αφού AE διχοτόμος της MAC και BA=BE) που προφανώς ισχύει.

Το δεύτερο κομμάτι το δουλεύω ακόμα.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Καθετότητα και ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Σάβ Ιουν 20, 2020 11:27 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το \displaystyle M είναι σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε \displaystyle BM = MC\sqrt 3.

Αν ο κύκλος (B, BA) τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας M\widehat AC στο E να δείξετε ότι BE\bot AM και CE=CM.
Το α) βγαίνει και αλλιώς.
Έστω ότι η προέκταση της AM προς το M τέμνει τον κύκλο (B,BA) στο T.
Προφανώς ο κύκλος εφάπτεται της AC. Επίσης \angle{ATE}=\angle{EAC}=\angle{EAM}.Άρα AETB χαρταετός και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα και ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 20, 2020 11:57 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 20, 2020 10:10 am
Καθετότητα και ίσα τμήματα.png
Το \displaystyle M είναι σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC, ώστε \displaystyle BM = MC\sqrt 3.

Αν ο κύκλος (B, BA) τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας M\widehat AC στο E να δείξετε ότι BE\bot AM και CE=CM.
α) Ας είναι ένα εσωτερικό σημείο M του BC προς τη μεριά του C και έστω E το σημείο τομής του κύκλου \left( {B,BA} \right) με τη διχοτόμο της \widehat {MAC}.
Καθετότητα και ισότητα_a.png
Καθετότητα και ισότητα_a.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Θα δείξω ότι BE \bot MA. Αν F το αντιδιαμετρικό του E και η BE κόψει την AC στο L ,

επειδή η AL εφάπτεται του κύκλου θα είναι \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{F_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EBA} = \widehat {MAL} = 2\widehat {{\theta _{}}}.

Αφού όμως \widehat {BAL} = 90^\circ αναγκαστικά BE \bot AM. Η ισότητα όμως απαιτεί το M να είναι ειδικό σημείο .

Ας είναι τώρα T η προβολή του A στη BC. Θέτω AT = TB = TC = d.
Καθετότητα και ισότητα_b.png
Καθετότητα και ισότητα_b.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές
Είναι \left\{ \begin{gathered} 
  TM = BM - BT \hfill \\ 
  BM = \sqrt 3 MC \hfill \\ 
  BM + MC = 2d \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  TM = d\left( {2 - \sqrt 3 } \right) \hfill \\ 
  BM = d\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα \tan \omega  = 2 - \sqrt 3  \Rightarrow \boxed{\omega  = 15^\circ } .

Οπότε ( εύκολα έχω ) : το τετράπλευρο AEMB είναι εγγράψιμο , τα τρίγωνα ABE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EMC είναι όμοια και έτσι CE = CM


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Καθετότητα και ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιουν 20, 2020 1:45 pm

Καλό μεσημέρι,
Όμορφη άσκηση :)
Για το β)
Απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου, στο τρίγωνο ABC έχω:
\dfrac{\sin \widehat{BAM}\cdot AB}{\sin \widehat{MAC}\cdot AC}=\dfrac{MB}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{\sin \widehat{BAM}}{\cos BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan \widehat{BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \widehat{BAM}=60^{\circ}.

Εύκολα βρίσκουμε τις γωνίες \widehat{AME}=30^{\circ},\,\widehat{EMC}=75^{\circ}.

Θέτω \widehat{MCE}=x,\,\widehat{ECA}=   y και D\equiv CE\cap AM.

Με τριγ.Ceva στο τρίγωνο AMC παίρνουμε:

\dfrac{\sin x}{\sin y} \cdot \dfrac{\sin15^{\circ}}{\sin15^{\circ}}\cdot \dfrac{\sin30^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\sin y}= \dfrac{\sin75^{\circ}}{sin30^{\circ}}=\dfrac{AC}{MC}, δηλαδή η CD είναι διάμεσος (προκύπτει απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου).

Έστω C' το συμμετρικό του C ως προ το D.
Το τετράπλευρο C'ACM είναι παραλληλόγραμμο, έτσι \widehat{MC'A}=45^{\circ}=180^{\circ} - \widehat{AEM}, άρα το τετράπλευρο AEMC' είναι εγγράψιμο κι επομένως x=\widehat{AME}=30^{\circ}. Το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Καθετότητα και ισότητα.png
Καθετότητα και ισότητα.png (40.61 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Edit: Διόρθωση τυπογραφικών.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης