Μεγαλομανία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγαλομανία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 15, 2020 2:17 pm

Μεγαλομανία.png
Μεγαλομανία.png (21.16 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Οι κύκλοι (O\rho) και (K,r) με OK=d , τέμνονται στα σημεία A,B . Σημεία S ,P κινούνται

στους δύο κύκλους , ώστε το τμήμα SP να διέρχεται από το A . Βρείτε την θέση του S

για την οποία ο κύκλος (Q) που ορίζουν τα σημεία S,B,P γίνεται μέγιστος και προσπαθήστε

να υπολογίσετε την ακτίνα R , του μεγίστου κύκλου . Εφαρμογή : \rho=5 , r=3 , d=6 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9812
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγαλομανία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 15, 2020 4:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 15, 2020 2:17 pm
Μεγαλομανία.pngΟι κύκλοι (O\rho) και (K,r) με OK=d , τέμνονται στα σημεία A,B . Σημεία S ,P κινούνται

στους δύο κύκλους , ώστε το τμήμα SP να διέρχεται από το A . Βρείτε την θέση του S

για την οποία ο κύκλος (Q) που ορίζουν τα σημεία S,B,P γίνεται μέγιστος και προσπαθήστε

να υπολογίσετε την ακτίνα R , του μεγίστου κύκλου . Εφαρμογή : \rho=5 , r=3 , d=6 .
Μεγαλομανία.png
Μεγαλομανία.png (24.07 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές
Εύκολα τα τρίγωνα OKB, SPB είναι όμοια, άρα \displaystyle S\widehat BP = O\widehat BK = \theta, με \displaystyle \cos \theta  = \frac{{{\rho ^2} + {r^2} - {d^2}}}{{2\rho r}}. Αλλά,

\displaystyle BS \le 2\rho ,BP \le 2r, οπότε έχουμε τον μέγιστο κύκλο όταν τα σημεία S, O, B είναι συνευθειακά, όπως και τα

P, K, B. Τότε SP=2d. Είναι όμως, \displaystyle \frac{1}{2}(2\rho )(2r)\sin \theta  = (SBP) = \frac{{(2\rho )(2r)(2d)}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{d}{{\sin \theta }}

Και μετά τις πράξεις (διαφορές τετραγώνων), \boxed{ R = \frac{{2dr\rho }}{{\sqrt {(\rho  + r + d)(\rho  + r - d)(d + \rho  - r)(d + r - \rho )} }}}

Για την εφαρμογή \displaystyle R = \frac{{45}}{{2\sqrt {14} }}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7555
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγαλομανία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 15, 2020 11:21 pm

Μεγαλομανία.png
Μεγαλομανία.png (39.72 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Επειδή οι QO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QK είναι μεσοκάθετοι, στα M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,N, στις SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PB το

τετράπλευρο QMBK είναι εγγράψιμο με άμεση συνέπεια και το τετράπλευρο

QOBK να είναι εγγράψιμο.

Συνεπώς το Q ανήκει στο σταθερό περίκυκλο του σταθερού \vartriangle BKO, σταθερής ακτίνας έστω a και συνεπώς

μέγιστος γίνεται ο κύκλος \left( Q \right) όταν η ακτίνα του γίνει διάμετρος του σταθερού αυτού κύκλου.

Έτσι \boxed{{R_{\max }} = 2a = \frac{{\rho rd}}{{2(BOK)}}}
μεγαλομανία 1.png
μεγαλομανία 1.png (44.24 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης