Αξιοσημείωτη σταθερότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αξιοσημείωτη σταθερότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 06, 2020 4:27 pm

Αξιοσημείωτη σταθερότητα.png
Αξιοσημείωτη σταθερότητα.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Δίνεται τετράγωνο ABCD και M τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν A\widehat MC = \omega,B\widehat MD = \theta,

α) Να δείξετε ότι η παράσταση \displaystyle  {\tan ^2}\omega  + {\tan ^2}\theta είναι σταθερή, ανεξάρτητη όχι μόνο από τη θέση του σημείου M

πάνω στον κύκλο, αλλά και από την πλευρά του τετραγώνου.

β) Να βρείτε τη θέση του M που ελαχιστοποιεί το άθροισμα \displaystyle \tan \omega  + \tan \theta και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 07, 2020 11:16 am

Σε σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το κέντρο του τετραγώνου και άξονες παράλληλους στις πλευρές του, ας είναι M(x,y).

Θα βρούμε tan\omega =\dfrac{2}{\rho }(y-x),\,\,tan\vartheta =-\dfrac{2}{\rho }(x+y) με tan^2\omega+tan^2\vartheta =8,\,\,!!!

Πολύ καλό!!!

κ.λπ. μέγιστο, προφανώς, για x=-\rho το 4


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 1:51 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 06, 2020 4:27 pm
Αξιοσημείωτη σταθερότητα.png
Δίνεται τετράγωνο ABCD και M τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αν A\widehat MC = \omega,B\widehat MD = \theta,

α) Να δείξετε ότι η παράσταση \displaystyle  {\tan ^2}\omega  + {\tan ^2}\theta είναι σταθερή, ανεξάρτητη όχι μόνο από τη θέση του σημείου M

πάνω στον κύκλο, αλλά και από την πλευρά του τετραγώνου.

β) Να βρείτε τη θέση του M που ελαχιστοποιεί το άθροισμα \displaystyle \tan \omega  + \tan \theta και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή.
Καλημέρα!

α) Έστω \rm O το κέντρο του τετραγώνου.Όταν \rm M μέσο του \rm BC εύκολα προκύπτει ότι το άθροισμα είναι 8,οπότε θα δείξουμε πως  \displaystyle  {\rm \tan ^2}\omega  + {\tan ^2}\theta=8.Έστω \rm a η πλευρά του τετραγώνου.
Είναι \rm \displaystyle  {\tan ^2}\omega  + {\tan ^2}\theta=\dfrac{1-\cos^2\omega}{\cos^2\omega}+\dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}-2 οπότε αρκεί \rm \dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}=10.Όμως στο \rm AMC θα είναι \rm \dfrac{1}{\cos \omega }=\dfrac{2AM\cdot MC}{AM^2+MC^2-AC^2}.Όμως από το θεώρημα διαμέσων είναι \rm \dfrac{2(AM^2+MC^2)-AC^2}{4}=MO^2=\dfrac{a^2}{4}\Leftrightarrow MA^2+MC^2=\dfrac{3}{2}a^2
άρα \rm \dfrac{1}{\cos \omega }=\dfrac{4AM\cdot MC}{-a^2}.Ομοίως και για την άλλη γωνία οπότε
\rm \dfrac{1}{\cos^2\omega}+\dfrac{1}{\cos^2\theta}=\dfrac{16AM^2MC^2+16BM^2MD^2}{a^4} και αρκεί \rm 8AM^2MC^2+8BM^2DM^2=5a^4 \Leftrightarrow 4[(AM^2+MC^2)^2-AM^4-CM^4)+4[(BM^2+DM^2)^2-BM^4-...-DM^4]=5a^4 η οποία επειδή \rm AM^2+MC^2=BM^2+DM^2=\dfrac{3}{2}a^2 οδηγεί στη \rm MA^4+MB^4+MC^4+MD^4=\dfrac{13}{4}a^4

Για να δείξω την τελευταία χρησιμοποιώ διανύσματα,\rm MA^4=(\overrightarrow{\rm MA})^4=\left ( \overrightarrow{\rm MO}+\overrightarrow{\rm OA} \right )^4=(MO^2+OA^2+2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA})^2=\left ( \dfrac{3}{4}a^2+2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=
\rm =\dfrac{9}{16}a^4+3a^2\overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA}+4\left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2.
Άρα έχουμε
\rm \sum MA^2=4\cdot \dfrac{9}{16}a^4+3a^2\overrightarrow{\rm MO}\sum \overrightarrow{\rm OA}+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{9}{4}a^4+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2
Για να είναι \rm \dfrac{9}{4}a^4+4\sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{13}{4}a^4 αρκεί \rm \sum \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OA} \right )^2=\dfrac{a^4}{4}
Επειδή \overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{\rm OD},\overrightarrow{\rm OA}=-\overrightarrow{\rm OC} γαι να ισχύει το τελευταίο αρκεί
\rm \left ( \overrightarrow{\rm MO}\overrightarrow{\rm OC} \right )^2+\left ( \overrightarrow{\rm MO} \overrightarrow{\rm OD}\right )^2=\dfrac{a^4}{8}\Leftrightarrow MO^2OC^2\cos^2\angle MOC+MO^2OD^2\cos^2\angle MOD=\dfrac{a^2}{8}\Leftrightarrow ....cos^2\angle MOC+\sin^2 \angle MOC=1
που ισχύει.
β) (\tan\omega +\tan\vartheta )^2\leq 2(\tan^2\omega+\tan^2\vartheta )=16\Leftrightarrow \left | \tan \omega +\tan \vartheta \right |\leq 4 άρα ελάχιστη τιμή το -4 όταν ίσες οι γωνίες.(σε κάθε περίπτωση είναι αμβλύες)Αυτό συμβαίνει όταν το \rm M είναι μέσο κάποιας πλευράς.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αξιοσημείωτη σταθερότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 09, 2020 9:56 am

Αλλιώς για το α). Έστω E, H οι προβολές του M στις AC, BD και 2a η πλευρά του τετραγώνου,

οπότε OM=a, AC=BD=2a\sqrt 2. Εφαρμόζω τα δύο θεωρήματα διαμέσων στο MBD:
Αξιοσημείωτη σταθερότητα.β.png
Αξιοσημείωτη σταθερότητα.β.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
M{B^2} + M{D^2} = 6{a^2}\\ 
M{D^2} - M{B^2} = 4a(OH)\sqrt 2  
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
M{B^2} = 3{a^2} - 2a(OH)\sqrt 2 \\ 
M{D^2} = 3{a^2} + 2a(OH)\sqrt 2  
\end{array} \right. \Rightarrow

\boxed{M{B^2}M{D^2} = 9{a^4} - 8{a^2}O{H^2}}

Αλλά, \displaystyle \cos \theta  = \frac{{6{a^2} - 8{a^2}}}{{2MD \cdot MB}} \Rightarrow {\cos ^2}\theta  = \frac{{{a^4}}}{{9{a^4} - 8{a^2}O{H^2}}} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta  = \frac{{8{a^2} - 8O{H^2}}}{{{a^2}}}

Ομοίως βρίσκω, \displaystyle {\tan ^2}\omega  = \frac{{8{a^2} - 8O{E^2}}}{{{a^2}}}, άρα \displaystyle {\tan ^2}\theta  + {\tan ^2}\omega  = \frac{{16{a^2} - 8(O{E^2} + O{H^2})}}{{{a^2}}} = \frac{{16{a^2} - 8{a^2}}}{{{a^2}}} = 8


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης