Επί του περικύκλου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επί του περικύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 04, 2020 10:25 am

Επί  του  περικύκλου.png
Επί του περικύκλου.png (23.99 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Σε τρίγωνο ABC φέραμε τα ύψη BE , CZ και το AD , το οποίο τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο T . Ονομάζουμε M το μέσο του EZ . Δείξτε ότι : BM , TE τέμνονται επί του περικύκλου .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επί του περικύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 04, 2020 2:01 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:25 am
Επί του περικύκλου.pngΣε τρίγωνο ABC φέραμε τα ύψη BE , CZ και το AD , το οποίο τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο T . Ονομάζουμε M το μέσο του EZ . Δείξτε ότι : BM , TE τέμνονται επί του περικύκλου .
Εστω Hτο ορθόκεντρο και K το συμμετρικό του ως προς το E.
Είναι γνωστό ότι βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
Τα τρίγωνα BZE και THK όμοια οπότε είναι
\widehat{ZBM}=\widehat{ATE}
Ετσι οι BM και TE τέμνονται πάνω στον κύκλο.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 771
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Επί του περικύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιουν 04, 2020 2:24 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:25 am
Επί του περικύκλου.pngΣε τρίγωνο ABC φέραμε τα ύψη BE , CZ και το AD , το οποίο τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο T . Ονομάζουμε M το μέσο του EZ . Δείξτε ότι : BM , TE τέμνονται επί του περικύκλου .
Καλησπέρα.Ορίζω \rm S\equiv TE \cap (A,B,C) οπότε αρκεί \rm M\equiv BS\cap ZE μέσο του \rm ZE.Αν \rm L\equiv BS \cap AA (\rm AA η εφαπτομένη στο \rm A) τότε από \rm Pascal στο \rm AASCTB είναι \rm D,E,L συνευθειακά οπότε αν \rm R\equiv BE \cap AA αρκεί \rm LA=LR.Αυτό ισχύει καθώς \rm AER ορθογώνιο και \rm \angle LEA=\angle  DEC=\angle B=\angle CAL \Leftrightarrow LA=LE.
320.PNG
320.PNG (32.99 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επί του περικύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 04, 2020 6:36 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 2:01 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:25 am
Επί του περικύκλου.pngΣε τρίγωνο ABC φέραμε τα ύψη BE , CZ και το AD , το οποίο τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο T . Ονομάζουμε M το μέσο του EZ . Δείξτε ότι : BM , TE τέμνονται επί του περικύκλου .
Εστω Hτο ορθόκεντρο και K το συμμετρικό του ως προς το E.
Είναι γνωστό ότι βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
Τα τρίγωνα BZE και THK όμοια οπότε είναι
\widehat{ZBM}=\widehat{ATE}
Ετσι οι BM και TE τέμνονται πάνω στον κύκλο.
Επι του περίκυκλου _Λύση  Παπαδόπουλου.png
Επι του περίκυκλου _Λύση Παπαδόπουλου.png (40.94 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Εκπληκτική λύση , με αγνά υλικά :clap2: . Αξίζει να την προσέξετε .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης