Ώρα εφαπτομένης 39

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 39

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am

Ώρα  εφαπτομένης 39.png
Ώρα εφαπτομένης 39.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 02, 2020 11:53 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am
Ώρα εφαπτομένης 39.png Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .
Ώρα εφαπτομένης 39.png
Ώρα εφαπτομένης 39.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Προφανώς : OC=10.

Ας είναι F το σημείο τομής των OC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA και T το σημείο τομής των OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS.

Έχω προφανώς : \vartriangle FDC \approx \vartriangle FAO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SDC \approx \vartriangle STO και αβίαστα προκύπτει :

x = y = \dfrac{3}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FD = \dfrac{9}{2} \Rightarrow TA = \dfrac{1}{2}\,\, .

\theta  = {a_1} - \omega  \Rightarrow \tan \theta  = \tan \left( {{a_1} - \omega } \right) = \dfrac{{\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{{12}}}}{{1 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{9}{8}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 02, 2020 4:35 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am
Ώρα εφαπτομένης 39.png Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .
Ώρα εφαπτομένης.39.png
Ώρα εφαπτομένης.39.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Δύο φορές νόμος συνημιτόνων στο DSC: 1) D{S^2} = 100 - 96\cos \omega  = 100 - 96 \cdot \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow D{S^2} = \dfrac{{116}}{5}

2) \displaystyle 36 = \frac{{116}}{5} + 64 - 16\frac{{\sqrt {580} }}{5}\cos \theta  \Leftrightarrow \cos \theta  = \frac{8}{{\sqrt {145} }} \Rightarrow \tan \theta  = \sqrt {\frac{{1 - {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}}  = \frac{9}{8}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 02, 2020 5:56 pm

Ώρα εφαπτομένης 39_Αναλυτικά.png
Ώρα εφαπτομένης 39_Αναλυτικά.png (23.48 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Το S\left( {x,y} \right):\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} + {y^2} = 4 \hfill \\ 
  y = \frac{3}{4}x\,\,,y > 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{8}{5},\dfrac{6}{5}} \right)}. \overrightarrow {SD}  = \left( {2 - \dfrac{8}{5},6 - \dfrac{6}{5}} \right) = \left( {\dfrac{2}{5}.\dfrac{{24}}{5}} \right)

Με συντελεστή διεύθυνσης, {\lambda _1} = 12. Ενώ η ευθεία SC έχει συντελεστή διεύθυνσης {\lambda _2} = \dfrac{3}{4}, κι επειδή η γωνία \theta είναι οξεία:

\tan \theta  = \dfrac{{|{\lambda _2} - {\lambda _1}|}}{{|1 + {\lambda _2}{\lambda _1}|}} = \dfrac{{12 - \dfrac{3}{4}}}{{1 + 12 \cdot \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{45}}{{40}} = \dfrac{9}{8}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιουν 02, 2020 7:15 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am
Ώρα εφαπτομένης 39.png Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο OCB,SC=8,

και στο τρίγωνο

SDC,\hat{\nu }+\hat{\theta }+2\hat{\omega }=90^{0},

 \dfrac{8}{sin(2\omega +\theta) }=\dfrac{6}{sin\theta }\Rightarrow

 8sin\theta =9cos\theta \Leftrightarrow tan\theta =\dfrac{9}{8}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 39.png
Ωρα εφαπτομένης 39.png (71.97 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιουν 03, 2020 2:12 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am
Ώρα εφαπτομένης 39.png Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .

Στο παρακάτω σχήμα είναι SP \bot DS και PZ \bot DA

Λόγω των εγγράψιμων DZPC,DSZP όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και ZA,ZS εφαπτόμενα τμήματα του

ημικυκλίου,άρα \angle ZOA= \phi

tan2 \phi = \dfrac{2tan \varphi }{1-tan^2 \varphi } = \dfrac{BC}{OB}= \dfrac{3}{4} \Rightarrow tan \phi = \dfrac{1}{3}   \Rightarrow  \dfrac{ZA}{2}=\dfrac{1}{3}  \Rightarrow ZA= \dfrac{2}{3} \Rightarrow CP= \dfrac{16}{3} και

 tan \theta = \dfrac{DC}{CP}= \dfrac{6}{ \dfrac{16}{3} } = \frac{9}{8}
ώρα εφαπτομένης 39.png
ώρα εφαπτομένης 39.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 03, 2020 11:37 am

Ώρα εφαπτομένης 39_new.png
Ώρα εφαπτομένης 39_new.png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές

Ας είναι T η προβολή του D στην OC.

Επειδή OB = 2 + 6 = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = 6 από το Π. Θ. στο \vartriangle BCO έχω : OC = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10.

Το \vartriangle CBO \to \left( {3t,4t,5t} \right)\,\,\,,t > 0 και άρα το : \vartriangle DTC\,\, που είναι όμοιο προς αυτό θα είναι της ίδιας μορφής.

Θέτω: DT = 3k\,\,,\,\,TC = 4k\,. Επειδή από το ορθογώνιο τρίγωνο DTC ,

{6^2} = 9{k^2} + 16{k^2} = 25{k^2} \Rightarrow \boxed{6 = 5k \Leftrightarrow k = \dfrac{6}{5}} θα είναι : TC = \dfrac{{24}}{5}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DT = \dfrac{{18}}{5}. Αλλά SC = 8 οπότε :

ST = 8 - \dfrac{{24}}{5} = \dfrac{{16}}{5} , συνεπώς \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{DT}}{{ST}} = \dfrac{{18}}{{16}} = \dfrac{9}{8}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3273
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 39

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιουν 04, 2020 5:18 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 10:46 am
Το ημικύκλιο έχει ακτίνα OA=2 και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου -

έχει πλευρά AB=6 . Αν η OC τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο S , υπολογίστε την \tan\widehat{DSC} .
Φέρω SZ \bot OC,\,DK \bot SZ και η συνέχεια στο σχήμα…
shape.png
shape.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 5 επισκέπτες