Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 31, 2020 11:22 am

Δύο  ημικύκλια  και ένας  κύκλος.png
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές
Από το μέσο M της ακτίνας OB , ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r , φέρω εφαπτομένη MP

προς το ημικύκλιο διαμέτρου AO . Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της MP στο P και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 31, 2020 6:20 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:22 am
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png Από το μέσο M της ακτίνας OB , ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r , φέρω εφαπτομένη MP

προς το ημικύκλιο διαμέτρου AO . Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της MP στο P και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST .
Έστω R η ακτίνα του μεγάλου ημικυκλίου, L το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και r η ακτίνα του κύκλου. N είναι το

δεύτερο σημείο τομής της AB με τον κύκλο, H το απόστημα της χορδής MN και E η προβολή του K στην LS.
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.Κ.png
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.Κ.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
\displaystyle PL = \frac{R}{2} = \frac{{LM}}{2} \Leftrightarrow P\widehat LM = 60^\circ  = K\widehat MN, άρα το KMN είναι ισόπλευρο τρίγωνο και MN = r,

KH = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}. Αλλά, \displaystyle OM \cdot ON = O{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow \frac{R}{2}\left( {\frac{R}{2} + r} \right) = {(R - r)^2} - {r^2} \Leftrightarrow \boxed{r = \frac{{3R}}{{10}}}

Έτσι λοιπόν κατασκευάζουμε τον κύκλο (K). Φέρνουμε κάθετη στην PM στο M και παίρνουμε τμήμα MK=\dfrac{3R}{10}.

\displaystyle L{K^2} = L{H^2} + H{K^2} = {\left( {R + \frac{r}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{r\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{139{R^2}}}{{100}} και \displaystyle S{T^2} = E{K^2} = L{K^2} - {\left( {\frac{R}{2} - r} \right)^2}

απ' όπου παίρνουμε \boxed{ ST = \frac{{3R\sqrt {15} }}{{10}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 01, 2020 11:23 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:22 am
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png Από το μέσο M της ακτίνας OB , ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r , φέρω εφαπτομένη MP

προς το ημικύκλιο διαμέτρου AO . Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της MP στο P και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST .
Κατασκευή .

Η κάθετη από το O στην PM τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο F.

Η FM τέμνει το πάνω ημικύκλιο στο σημείο επαφής Z του κύκλου , \left( {K,x} \right) που ζητάμε με τον αρχικό. ( Τα τρίγωνα OFZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KMZ είναι ισοσκελή …)

Θέτω για απλοποίηση των πράξεων και των πληκτρολογήσεων: \boxed{r = 4k}

Από το \vartriangle MKO(\widehat {KMO} = 120^\circ ) και το Θ συνημίτονου έχω: O{K^2} = M{O^2} + M{K^2} + MO \cdot MK.

Άρα : {\left( {4k - x} \right)^2} = 4{k^2} + {x^2} + 2kx \Rightarrow x = \dfrac{{6k}}{5} = \dfrac{{3r}}{{10}}\,\,\,\left( 1 \right). Ας πούμε L το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και KL = d
Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_1.png
Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_1.png (24.76 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Πάλι από το ίδιο θεώρημα στο \vartriangle MKL έχω :

K{L^2} = M{L^2} + M{K^2} + ML \cdot MK \Rightarrow {d^2} = 16{k^2} + \dfrac{{36{k^2}}}{{25}} + \dfrac{{24{k^2}}}{{25}} = \dfrac{{556{k^2}}}{{25}}\,\,\left( 2 \right)

Για το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα y δύο κύκλων ισχύει : {y^2} = {d^2} - {\left( {R - r} \right)^2}

Άρα εδώ: {y^2} = \dfrac{{556{k^2}}}{{25}} - \dfrac{{16{k^2}}}{{25}} = \dfrac{{540{k^2}}}{{25}} \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{6\sqrt {15} k}}{5} = \dfrac{{3\sqrt {15} r}}{{10}}}.

Παρατήρηση : Υπάρχει ακόμη μια ωραία κατασκευή με αρμονικότητα και κύκλο του Απολλώνιου ( μέσα και ο χρυσός αριθμός \varphi )
Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_2.png
Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_2.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης