Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

KARKAR · #1

: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Από το μέσο

της ακτίνας

, ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

, φέρω εφαπτομένη

προς το ημικύκλιο διαμέτρου

. Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της

στο

και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:22 am
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png Από το μέσο της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρω εφαπτομένη

προς το ημικύκλιο διαμέτρου . Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της στο και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Έστω

η ακτίνα του μεγάλου ημικυκλίου,

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και

η ακτίνα του κύκλου.

είναι το

δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο,

το απόστημα της χορδής

και

η προβολή του

στην

: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.Κ.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

$\displaystyle PL = \frac{R}{2} = \frac{{LM}}{2} \Leftrightarrow P\widehat LM = 60^\circ = K\widehat MN,$ άρα το KMN

είναι ισόπλευρο τρίγωνο και MN = r,

$KH = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}.$ Αλλά, $\displaystyle OM \cdot ON = O{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow \frac{R}{2}\left( {\frac{R}{2} + r} \right) = {(R - r)^2} - {r^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \frac{{3R}}{{10}}}$

Έτσι λοιπόν κατασκευάζουμε τον κύκλο (K).

Φέρνουμε κάθετη στην

στο

και παίρνουμε τμήμα $MK=\dfrac{3R}{10}.$

$\displaystyle L{K^2} = L{H^2} + H{K^2} = {\left( {R + \frac{r}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{r\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{139{R^2}}}{{100}}$ και $\displaystyle S{T^2} = E{K^2} = L{K^2} - {\left( {\frac{R}{2} - r} \right)^2}$

απ' όπου παίρνουμε $\boxed{ ST = \frac{{3R\sqrt {15} }}{{10}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 31, 2020 11:22 am
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.png Από το μέσο της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου , φέρω εφαπτομένη

προς το ημικύκλιο διαμέτρου . Να γράψετε κύκλο εφαπτόμενο του μεγάλου ημικυκλίου ,

καθώς και της στο και να υπολογίσετε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Κατασκευή .

Η κάθετη από το

στην

τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο

.

Η

τέμνει το πάνω ημικύκλιο στο σημείο επαφής

του κύκλου , $\left( {K,x} \right)$ που ζητάμε με τον αρχικό. ( Τα τρίγωνα $OFZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KMZ$ είναι ισοσκελή …)

Θέτω για απλοποίηση των πράξεων και των πληκτρολογήσεων: $\boxed{r = 4k}$

Από το $\vartriangle MKO$ ( $\widehat {KMO} = 120^\circ$ ) και το Θ συνημίτονου έχω: $O{K^2} = M{O^2} + M{K^2} + MO \cdot MK$ .

Άρα : ${\left( {4k - x} \right)^2} = 4{k^2} + {x^2} + 2kx \Rightarrow x = \dfrac{{6k}}{5} = \dfrac{{3r}}{{10}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Ας πούμε

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και KL = d

: Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_1.png (24.76 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Πάλι από το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle MKL$ έχω :

$K{L^2} = M{L^2} + M{K^2} + ML \cdot MK \Rightarrow {d^2} = 16{k^2} + \dfrac{{36{k^2}}}{{25}} + \dfrac{{24{k^2}}}{{25}} = \dfrac{{556{k^2}}}{{25}}\,\,\left( 2 \right)$

Για το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα

δύο κύκλων ισχύει : ${y^2} = {d^2} - {\left( {R - r} \right)^2}$

Άρα εδώ: ${y^2} = \dfrac{{556{k^2}}}{{25}} - \dfrac{{16{k^2}}}{{25}} = \dfrac{{540{k^2}}}{{25}} \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{6\sqrt {15} k}}{5} = \dfrac{{3\sqrt {15} r}}{{10}}}$ .

Παρατήρηση : Υπάρχει ακόμη μια ωραία κατασκευή με αρμονικότητα και κύκλο του Απολλώνιου ( μέσα και ο χρυσός αριθμός $\varphi$ )

: Δυο ημικύκλια κι ένας κύκλος_κατασκευή_2.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

Re: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

Re: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος

Μέλη σε σύνδεση