Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

#1

: Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Δίδονται τα σταθερά σημεία $K,L\,\,\mu \varepsilon \,\,KL = d$ . οι σταθεροί κύκλοι : $\left( {K,r\,} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,R} \right)$ τέμνονται στα σημεία A,B

.

Από σημείο

του $\left( {K,r} \right)$ φέρνουμε την ευθεία

που τέμνει ακόμα τον $\left( {L,R} \right)$ στο σημείο

α) Να κατασκευαστεί η τέμνουσα SAT

ώστε το $AS \cdot AT$ να είναι μέγιστο.

β) Να υπολογιστεί από τα d,R,r

το πιο πάνω μέγιστο.

(Έχει πολλές λύσεις)

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 28, 2020 7:09 pm
Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $K,L\,\,\mu \varepsilon \,\,KL = d$ . οι σταθεροί κύκλοι : $\left( {K,r\,} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,R} \right)$ τέμνονται στα σημεία .

Από σημείο του $\left( {K,r} \right)$ φέρνουμε την ευθεία που τέμνει ακόμα τον $\left( {L,R} \right)$ στο σημείο

α) Να κατασκευαστεί η τέμνουσα ώστε το $AS \cdot AT$ να είναι μέγιστο.

β) Να υπολογιστεί από τα το πιο πάνω μέγιστο.

(Έχει πολλές λύσεις)

α) Ανάλυση: Έστω $\displaystyle K\widehat AL = 2a$ και SAT

η ζητούμενη τέμνουσα. Για τις γωνίες $\displaystyle \theta ,\omega$ του σχήματος, είναι

$\displaystyle \theta + \omega = 180^\circ - 2a$ και $\displaystyle \cos \omega \cos \theta = \frac{{\cos (180^\circ - 2a) + \cos (\omega - \theta )}}{2} \le \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \theta = \omega = 90^\circ - a.$ Αλλά, $\displaystyle AS = 2r\cos \theta ,AT = 2R\cos \omega ,$

άρα το ζητούμενο γινόμενο μεγιστοποιείται όταν $\theta = \omega = 90^\circ - a.$ Οδηγούμαστε έτσι στην κατασκευή.

: Μέγιστο γινόμενο.D.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Κατασκευή: Θεωρώ σημείο

του κύκλου (L)

ώστε $\displaystyle L\widehat AT = \omega = 90^\circ - a$ (η γωνία $\omega$ είναι έξω από

την $K\widehat AL$ ). Η

επανατέμνει τον κύκλο (K)

στο

Η

είναι η ζητούμενη τέμνουσα.

β) Από την ανάλυση έχω $\displaystyle AS \cdot AT = 4Rr\cos \theta \cos \omega \le 2Rr(1 - \cos 2a) = 2Rr\left( {1 - \frac{{{R^2} + {r^2} - {d^2}}}{{2Rr}}} \right)$

απ' όπου $\boxed{ {(AS \cdot AT)_{\max }} = {d^2} - {(R - r)^2}}$

kkala · #3

Μία παραλλαγή (με μικροδιαφορές) της λύσης #2 (george visvikis), όπου χρησιμοποιείται πάλι το σχήμα της #2.
(AS)(AT)=2rcosθ2Rcosω=2Rr(cos(θ-ω)+cos(θ+ω))=2Rr(cos(θ-ω)-cos2α) (καθόσον θ+2α+ω=π).
Μέγιστο προκύπτει όταν cos(θ-ω)=1, οπότε θ=ω (γωνίες θ, ω οξείες). Στην περίπτωση αυτή θ+α=ω+α=π/2. Η ζητούμενη τέμνουσα μπορεί να κατασκευασθεί σαν κάθετος στη διχοτόμο της γωνίας KAL, στο σημείο Α.
Τότε προκύπτει Max (AS)(AT)=2Rr(1-cos2a), κλπ, όπως στην #2 παραπάνω.

Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

Re: Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

Re: Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

Μέλη σε σύνδεση