Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 28, 2020 7:09 pm

Μέγιστο γινόμενο από  τέμνουσα.png
Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Δίδονται τα σταθερά σημεία K,L\,\,\mu \varepsilon \,\,KL = d . οι σταθεροί κύκλοι : \left( {K,r\,} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,R} \right) τέμνονται στα σημεία A,B.

Από σημείο S του \left( {K,r} \right)φέρνουμε την ευθεία SA που τέμνει ακόμα τον \left( {L,R} \right) στο σημείο T.

α) Να κατασκευαστεί η τέμνουσα SAT ώστε το AS \cdot AT να είναι μέγιστο.

β) Να υπολογιστεί από τα d,R,r το πιο πάνω μέγιστο.


(Έχει πολλές λύσεις)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 29, 2020 8:56 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 28, 2020 7:09 pm
Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία K,L\,\,\mu \varepsilon \,\,KL = d . οι σταθεροί κύκλοι : \left( {K,r\,} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,R} \right) τέμνονται στα σημεία A,B.

Από σημείο S του \left( {K,r} \right)φέρνουμε την ευθεία SA που τέμνει ακόμα τον \left( {L,R} \right) στο σημείο T.

α) Να κατασκευαστεί η τέμνουσα SAT ώστε το AS \cdot AT να είναι μέγιστο.

β) Να υπολογιστεί από τα d,R,r το πιο πάνω μέγιστο.


(Έχει πολλές λύσεις)
α) Ανάλυση: Έστω \displaystyle K\widehat AL = 2a και SAT η ζητούμενη τέμνουσα. Για τις γωνίες \displaystyle \theta ,\omega του σχήματος, είναι

\displaystyle \theta  + \omega  = 180^\circ  - 2a και \displaystyle \cos \omega \cos \theta  = \frac{{\cos (180^\circ  - 2a) + \cos (\omega  - \theta )}}{2} \le \frac{{1 - \cos 2a}}{2}

με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \theta  = \omega  = 90^\circ  - a. Αλλά, \displaystyle AS = 2r\cos \theta ,AT = 2R\cos \omega ,

άρα το ζητούμενο γινόμενο μεγιστοποιείται όταν \theta  = \omega  = 90^\circ  - a. Οδηγούμαστε έτσι στην κατασκευή.
Μέγιστο γινόμενο.D.png
Μέγιστο γινόμενο.D.png (20.28 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
Κατασκευή: Θεωρώ σημείο T του κύκλου (L) ώστε \displaystyle L\widehat AT = \omega  = 90^\circ  - a (η γωνία \omega είναι έξω από

την K\widehat AL). Η TA επανατέμνει τον κύκλο (K) στο S. Η SAT είναι η ζητούμενη τέμνουσα.

β) Από την ανάλυση έχω \displaystyle AS \cdot AT = 4Rr\cos \theta \cos \omega  \le 2Rr(1 - \cos 2a) = 2Rr\left( {1 - \frac{{{R^2} + {r^2} - {d^2}}}{{2Rr}}} \right)

απ' όπου \boxed{ {(AS \cdot AT)_{\max }} = {d^2} - {(R - r)^2}}


kkala
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο από τέμνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Μάιος 29, 2020 9:41 pm

Μία παραλλαγή (με μικροδιαφορές) της λύσης #2 (george visvikis), όπου χρησιμοποιείται πάλι το σχήμα της #2.
(AS)(AT)=2rcosθ2Rcosω=2Rr(cos(θ-ω)+cos(θ+ω))=2Rr(cos(θ-ω)-cos2α) (καθόσον θ+2α+ω=π).
Μέγιστο προκύπτει όταν cos(θ-ω)=1, οπότε θ=ω (γωνίες θ, ω οξείες). Στην περίπτωση αυτή θ+α=ω+α=π/2. Η ζητούμενη τέμνουσα μπορεί να κατασκευασθεί σαν κάθετος στη διχοτόμο της γωνίας KAL, στο σημείο Α.
Τότε προκύπτει Max (AS)(AT)=2Rr(1-cos2a), κλπ, όπως στην #2 παραπάνω.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης