Ώρα εφαπτομένης 36

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11546
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 36

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 20, 2020 8:19 pm

Ώρα εφαπτομένης  36.png
Ώρα εφαπτομένης 36.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Με τα σημεία L , N τριχοτομούμε την οριζόντια διάμετρο AB ενός κύκλου . Σημείο S κινείται

στο βόρειο ημικύκλιο . Οι SL , SN , τέμνουν το νότιο ημικύκλιο στα σημεία P , T αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{SPT}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 20, 2020 10:26 pm

Ας είναι M το μέσο της χορδής ST και O το κέντρο του κύκλου .

Επειδή \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} θα είναι: \tan \theta  = \tan \omega  = \dfrac{{MS}}{{MO}}\,\,\,\left( 1 \right).

Ένα κλάσμα με θετικούς όρους γίνεται ελάχιστο στις περιπτώσεις:

Ώρα εφαπτομένης 36.png
Ώρα εφαπτομένης 36.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
α) Με σταθερό αριθμητή μεγιστοποιείται ο παρανομαστής

β) Με σταθερό παρανομαστή ελαχιστοποιείται ο αριθμητής

γ) αν συμβεί ταυτόχρονα μέγιστος ο παρανομαστής και ελάχιστος ο αριθμητής .


Εδώ OM \leqslant ON\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM \leqslant SN και άρα έχω την ελάχιστη τιμή του κλάσματος της

\left( 1 \right) εφ’ όσον ST \bot AB.

Αν τώρα AB = 6k\,\,,\,\,k > 0, \boxed{\tan \theta  = \frac{{\sqrt {9{k^2} - {k^2}} }}{k} = 2\sqrt 2 } η ελάχιστη τιμή που ζητώ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 21, 2020 1:22 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 20, 2020 8:19 pm
Ώρα εφαπτομένης 36.pngΜε τα σημεία L , N τριχοτομούμε την οριζόντια διάμετρο AB ενός κύκλου . Σημείο S κινείται

στο βόρειο ημικύκλιο . Οι SL , SN , τέμνουν το νότιο ημικύκλιο στα σημεία P , T αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{SPT}
   \dfrac{SQ}{SB}= \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{2}{3}  \Rightarrow SQ= \dfrac{2}{3} SB  και  \dfrac{NQ}{SA}= \dfrac{NB}{BA}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow NQ= \dfrac{1}{3}  SA

Αν tan \omega = \dfrac{SB}{SA} =x ,τότε tan \phi = \dfrac{NQ}{SQ}= \dfrac{ \dfrac{1}{3}SA }{ \dfrac{2}{3} SB}= \dfrac{1}{2x} και

tan \theta =tan( \omega + \phi )=2x+ \dfrac{1}{x}  \geq 2 \sqrt{2x .  \dfrac{1}{x} }=2 \sqrt{2} με το ίσον να πιάνεται όταν tan  \omega  =x=  \dfrac{ \sqrt{2} }{2}
ώρα εφαπτομένης 36.png
ώρα εφαπτομένης 36.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 36

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Μάιος 21, 2020 11:24 pm

Λίγο διαφορετική αιτιολόγηση από αυτή του Νίκου κατά τά άλλα τά ίδια.
Η \tan\widehat{SPT} ελαχιστοποιείται όταν η \widehat{SPT} ελαχιστοποιείται, όταν το τόξο SBT ελαχιστοποιείται, όταν η χορδή ST ελαχιστοποιείται, δηλαδή όταν ST \perp AB. Τότε το σχήμα από όπου \tan β = \sqrt{8}
Συνημμένα
tan36.png
tan36.png (845.49 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες