Καθετότητα επι κύκλου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Καθετότητα επι κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Μάιος 20, 2020 4:58 pm

Με αφορμή την άσκηση του κ.Νίκου εδώ.
Καθετότητα επι κύκλου.png
Καθετότητα επι κύκλου.png (33.37 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Έστω oι κύκλοι (O) και (C), με διαμέτρους AC=3k και BD=2k αντίστοιχα.

Θέτω E την μία τομή των κύκλων και S\equiv DE\cap(O). Απο το S φέρω την εφαπτόμενη ST του (C).

S' είναι το αντιδιαμετρικό του S και N\equiv S'T\cap AC, να δείξετε ότι οι SN και AT τέμνονται κάθετα πάνω στον (C).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7152
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα επι κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 21, 2020 10:01 am

Πρώτα –πρώτα ας είναι F το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων και O το κέντρο του μεγάλου .
Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση_a.png
Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση_a.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Φέρνω την SF που τέμνει το μικρό κύκλο στο G και την AD στο J.

Είναι η SC διχοτόμος της \widehat {FSE} , τα τρίγωνα SCF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SCD ίσα , οι \overline {FCT} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,DJ

Είναι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου SFD , οπότε :

\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}}\,\,\,\left( 1 \right). Επί πλέον δε η τετράδα \left( {A,C\backslash J,D} \right) είναι αρμονική και

Έτσι τελικά αβίαστα υπολογίζονται : \boxed{\frac{{JC}}{{JO}} = \frac{2}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{2}{3}} \left( 2 \right)

Πάμε τώρα στην εκφώνηση .
Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση.png
Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση.png (32.68 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές


Από τα όμοια τρίγωνα OS'N\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CTN έχω: \boxed{\frac{{NC}}{{NO}} = \frac{2}{3}}\,\,\,\left( 3 \right) δηλαδή το N \equiv J και η \overline {SNF}  \equiv \overline {SJF}

Επειδή ακόμη και η τετράδα \left( {A,N\backslash B,C} \right) είναι αρμονική \left( {\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}} \right)

Θα είναι AG \bot GN ενώ TG \bot GF γιατί η \widehat {FGT} = 90^\circ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο .


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Καθετότητα επι κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Μάιος 23, 2020 7:20 pm

Κύριε Νίκο ευχαριστώ για την λύση σας :)
Γράφω την δική μου σκέψη:
Έστω G και F οι τομές της SN με τον (C). Το N είναι εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των (O) και (C), έτσι τα T και F θα είναι αντιδιαμετρικά (ως εικόνες των S' και S αντίστοιχα) κι επομένως \widehat{FGT}=90^{\circ}.
Έστω τώρα P\equiv AD\cap ST. Απο γνωστή πρόταση είναι (O,C,N,P)=-1\Leftrightarrow S(O,C,N,P)=-1. Είναι ακόμη BO\cdot BP=SB^{2}=BC\cdot BA, που είναι η σχέση Mac Laurin, επομένως (A,C,B,P)=-1. Οι αρμονικές δέσμες S(O,C,N,P) και T(A,C,B,P) έχουν TP\perp SO,TC\perp SO,TB\perp SC, άρα θα είναι και TA\perp SN.Η απόδειξη τώρα ολοκληρώθηκε.
Καθετότητα επι κύκλου.png
Καθετότητα επι κύκλου.png (55.61 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης