Δύο σταθερά σημεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Δύο σταθερά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 17, 2020 2:45 pm

2 σταθερά σημεία.png
2 σταθερά σημεία.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Δίνονται δύο κύκλοι (K, R), (L, r) με KL=d>R+r. Ένας τρίτος κύκλος με κέντρο O είναι ορθογώνιος

με καθέναν από τους (K), (L). Να δείξετε ότι ο κύκλος (O) διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο σταθερά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 17, 2020 8:33 pm

Ριζικός.png
Ριζικός.png (27.5 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Όλοι οι κύκλοι (O) διέρχονται από τα σταθερά σημεία S , T .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο σταθερά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 17, 2020 8:46 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 8:33 pm
Ριζικός.pngΌλοι οι κύκλοι (O) διέρχονται από τα σταθερά σημεία S , T .
george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 2:45 pm
Να δείξετε ότι ο κύκλος (O) διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.
Από ότι βλέπω ζητείται να δειχθεί ότι διέρχεται από δύο σταθερά σημεία,
και όχι να τα βρούμε.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Δύο σταθερά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Μάιος 17, 2020 9:07 pm

Παίρνουμε αντιστροφή με κέντρο σημείο πάνω στον K.
Έστω k η ευθεία-εικόνα του (K) και (L)' η εικόνα του (L).Η αντιστροφή διατηρεί γωνίες μεταξύ καμπύλων,οπότε οι κύκλοι (O) κινούνται ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στην k και οι ίδιοι να είναι ορθογώνιοι στον (L)'.Έτσι παίρνουμε εύκολα ένα σταθερό σημείο:Τον πόλο της k ως προς τον (L)'.Το άλλο είναι το συμμετρικό αυτού ως προς την k -λόγω της συμμετρίας του σχήματος.

Υγ.Μπορεί να αντιμετωπιστεί και με διάφορους άλλους "περίεργους" τρόπους :lol:
τελευταία επεξεργασία από min## σε Δευ Μάιος 18, 2020 2:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο σταθερά σημεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 17, 2020 9:42 pm

Έστω T,S τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.Απο δύναμη σημείου έχουμε KS 
KT=R^2, 
LT.LS=r^2.Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε ότι τα KS  ,LT είναι σταθερά.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι τα T  ,S είναι εσωτερικά σημεία της διακεντρου.Αρα είναι σταθερά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Δύο σταθερά σημεία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μάιος 17, 2020 9:45 pm

Πρόκειται για τα λεγόμενα ορικά σημεία ή σημεία Poncelet.

Μια σπουδαία ιδιότητα τους είναι ότι η αντιστροφή με κέντρο ένα από αυτά, αντιστρέφει τους δύο κύκλους σε ομόκεντρους κύκλους.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Δύο σταθερά σημεία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μάιος 18, 2020 3:08 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:42 pm
...
Έστω T,S τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.
...
Στην πραγματικότητα η ύπαρξη αυτών των σημείων τομής πρέπει να αποδειχτεί.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύο σταθερά σημεία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 19, 2020 6:48 pm

Ας το δούμε λίγο αναλυτικά. Έστω \rho η ακτίνα του κύκλου (O) και R>r.
2 σταθερά σημεία.β.png
2 σταθερά σημεία.β.png (25.68 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Είναι \displaystyle ON<\rho  < OK, ON<\rho  < OL, άρα ο κύκλος (O, \rho) τέμνει την KL σε δύο εσωτερικά

σημεία S, T. Αρκεί να δείξω ότι το S είναι σταθερό. Τότε θα είναι και το T σταθερό, αφού NS=NT.

Επειδή το O βρίσκεται πάνω στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων θα είναι \displaystyle KN = \frac{{{d^2} + {R^2} - {r^2}}}{{2d}}

\displaystyle KS \cdot KT = {R^2} \Leftrightarrow (KN - NS)(KN + NS) = {R^2} \Leftrightarrow N{S^2} = {\left( {\frac{{{d^2} + {R^2} - {r^2}}}{{2d}}} \right)^2} - {R^2}, που είναι

σταθερό. Όπως γράφει κι ο Κώστας, τα σημεία αυτά ονομάζονται ορικά σημεία ή σημεία Poncelet (points limites de Poncelet).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύο σταθερά σημεία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 19, 2020 9:26 pm

rek2 έγραψε:
Δευ Μάιος 18, 2020 3:08 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:42 pm
...
Έστω T,S τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.
...
Στην πραγματικότητα η ύπαρξη αυτών των σημείων τομής πρέπει να αποδειχτεί.
Φυσικά και πρέπει να αποδειχθεί.
Θα γράψω μια απόδειξη με Αναλυτική Γεωμετρία του γενικότερου προβλήματος.


Το πρόβλημα.
Θεωρούμε δύο κύκλους (K_1,R_1)και (K_2,R_2).
Θεωρούμε τους κύκλους που τέμνουν ορθογώνια τους παραπάνω κύκλους.
1)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι δεν τέμνονται τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια διέρχονται
από δύο σταθερά σημεία.
2)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι εφάπτονται τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια διέρχονται
από σταθερο σημείο.
3)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια δεν διέρχονται
από κάποιο σταθερό σημείο.

Απόδειξη.
Χωρίς βλάβη θεωρούμε R_{1}\geq R_{2}
Εστω (-a,0),(a,0) τα κέντρα των κύκλων.
Εστω (x_0,y_0) το κέντρο και R η ακτίνα του κύκλου που τέμνει ορθογώνια.
Είναι
(x_0+a)^2+y_0^2=R_1^2+R^2(1)
(x_0-a)^2+y_0^2=R_2^2+R^2(2)
Προκύπτει
x_{0}=\dfrac{R_1^2-R_2^2}{4a}=\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d}
σταθερό.
d είναι η διάκεντρος των αρχικών κύκλων.
Ετσι η εξίσωση του κύκλου που τέμνει ορθογώνια είναι
(x-\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d})^2+(y-y_0)^2=R^2
Χρησιμοποιόντας την (1) γίνεται
(x-\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d})^2+(y-y_0)^2=(x_0+\dfrac{d}{2})^2+y_0^2-R_1^2
κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην
x^2-2xx_0+y^2-2yy_0+x_0^2+R_1^2-(x_0+\dfrac{d}{2})^2=0
Επειδή το y_0 παίζει αν υπάρχουν σταθερά σημεία θα είναι για y=0
Το x θα πρέπει να το βρούμε λύνοντας την
x^2-2xx_0+x_0^2+R_1^2-(x_0+\dfrac{d}{2})^2=0(*)
Η διακρίνουσα της παραπάνω είναι μή αρνητική αν και μόνο αν
d^4-2(R_1^2+R_2^2)d^2+(R_1^2-R_2^2)^2\geq0
Συμπεραίνουμε(παραλείπω πράξεις)
ότι η (*)
έχει δύο ρίζες αν d>R_1+R_2 η d<R_1-R_2
μία αν d=R_1+R_2 η d=R_1-R_2
και καμία αν R_1-R_2<d<R_1+R_2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες