Δύο σταθερά σημεία

#1

: 2 σταθερά σημεία.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

Δίνονται δύο κύκλοι (K, R), (L, r)

με

Ένας τρίτος κύκλος με κέντρο

είναι ορθογώνιος

με καθέναν από τους (K), (L).

Να δείξετε ότι ο κύκλος (O)

διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

KARKAR · #2

: Ριζικός.png (27.5 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

Όλοι οι κύκλοι (O)

διέρχονται από τα σταθερά σημεία S , T

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 17, 2020 8:33 pm
Ριζικός.pngΌλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα σταθερά σημεία .

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 17, 2020 2:45 pm
Να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.

Από ότι βλέπω ζητείται να δειχθεί ότι διέρχεται από δύο σταθερά σημεία,
και όχι να τα βρούμε.

min## · #4

Παίρνουμε αντιστροφή με κέντρο σημείο πάνω στον

.
Έστω

η ευθεία-εικόνα του (K)

και

η εικόνα του (L)

.Η αντιστροφή διατηρεί γωνίες μεταξύ καμπύλων,οπότε οι κύκλοι (O)

κινούνται ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στην

και οι ίδιοι να είναι ορθογώνιοι στον (L)'

.Έτσι παίρνουμε εύκολα ένα σταθερό σημείο:Τον πόλο της

ως προς τον (L)'

.Το άλλο είναι το συμμετρικό αυτού ως προς την

-λόγω της συμμετρίας του σχήματος.

Υγ.Μπορεί να αντιμετωπιστεί και με διάφορους άλλους "περίεργους" τρόπους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Έστω

τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.Απο δύναμη σημείου έχουμε KS
KT=R^2,
LT.LS=r^2

.Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε ότι τα KS ,LT

είναι σταθερά.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι τα T ,S

είναι εσωτερικά σημεία της διακεντρου.Αρα είναι σταθερά.

#6

Πρόκειται για τα λεγόμενα ορικά σημεία ή σημεία Poncelet.

Μια σπουδαία ιδιότητα τους είναι ότι η αντιστροφή με κέντρο ένα από αυτά, αντιστρέφει τους δύο κύκλους σε ομόκεντρους κύκλους.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:42 pm
...
Έστω τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.
...

Στην πραγματικότητα η ύπαρξη αυτών των σημείων τομής πρέπει να αποδειχτεί.

#8

Ας το δούμε λίγο αναλυτικά. Έστω $\rho$ η ακτίνα του κύκλου (O)

και

: 2 σταθερά σημεία.β.png (25.68 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Είναι $\displaystyle ON<\rho < OK, ON<\rho < OL,$ άρα ο κύκλος $(O, \rho)$ τέμνει την

σε δύο εσωτερικά

σημεία S, T.

Αρκεί να δείξω ότι το

είναι σταθερό. Τότε θα είναι και το

σταθερό, αφού NS=NT.

Επειδή το

βρίσκεται πάνω στο ριζικό άξονα των δύο κύκλων θα είναι $\displaystyle KN = \frac{{{d^2} + {R^2} - {r^2}}}{{2d}}$

$\displaystyle KS \cdot KT = {R^2} \Leftrightarrow (KN - NS)(KN + NS) = {R^2} \Leftrightarrow N{S^2} = {\left( {\frac{{{d^2} + {R^2} - {r^2}}}{{2d}}} \right)^2} - {R^2},$ που είναι

σταθερό. Όπως γράφει κι ο Κώστας, τα σημεία αυτά ονομάζονται ορικά σημεία ή σημεία Poncelet (points limites de Poncelet).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

rek2 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 18, 2020 3:08 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:42 pm
...
Έστω τα σημεία που τέμνει ο κύκλος την διάκεντ
ρο.
...

Στην πραγματικότητα η ύπαρξη αυτών των σημείων τομής πρέπει να αποδειχτεί.

Φυσικά και πρέπει να αποδειχθεί.
Θα γράψω μια απόδειξη με Αναλυτική Γεωμετρία του γενικότερου προβλήματος.

Το πρόβλημα.
Θεωρούμε δύο κύκλους (K_1,R_1)

και

.
Θεωρούμε τους κύκλους που τέμνουν ορθογώνια τους παραπάνω κύκλους.
1)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι δεν τέμνονται τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια διέρχονται
από δύο σταθερά σημεία.
2)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι εφάπτονται τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια διέρχονται
από σταθερο σημείο.
3)Αν οι δύο αρχικοί κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία τότε οι κύκλοι που τέμνουν ορθογώνια δεν διέρχονται
από κάποιο σταθερό σημείο.

Απόδειξη.
Χωρίς βλάβη θεωρούμε $R_{1}\geq R_{2}$
Εστω (-a,0),(a,0)

τα κέντρα των κύκλων.
Εστω (x_0,y_0)

το κέντρο και

η ακτίνα του κύκλου που τέμνει ορθογώνια.
Είναι
(x_0+a)^2+y_0^2=R_1^2+R^2

(1)

(2)
Προκύπτει
$x_{0}=\dfrac{R_1^2-R_2^2}{4a}=\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d}$
σταθερό.

είναι η διάκεντρος των αρχικών κύκλων.
Ετσι η εξίσωση του κύκλου που τέμνει ορθογώνια είναι
$(x-\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d})^2+(y-y_0)^2=R^2$
Χρησιμοποιόντας την (1) γίνεται
$(x-\dfrac{R_1^2-R_2^2}{2d})^2+(y-y_0)^2=(x_0+\dfrac{d}{2})^2+y_0^2-R_1^2$
κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην
$x^2-2xx_0+y^2-2yy_0+x_0^2+R_1^2-(x_0+\dfrac{d}{2})^2=0$
Επειδή το y_0

παίζει αν υπάρχουν σταθερά σημεία θα είναι για y=0

Το

θα πρέπει να το βρούμε λύνοντας την
$x^2-2xx_0+x_0^2+R_1^2-(x_0+\dfrac{d}{2})^2=0$ (*)
Η διακρίνουσα της παραπάνω είναι μή αρνητική αν και μόνο αν
$d^4-2(R_1^2+R_2^2)d^2+(R_1^2-R_2^2)^2\geq0$
Συμπεραίνουμε(παραλείπω πράξεις)
ότι η (*)
έχει δύο ρίζες αν d>R_1+R_2

η

μία αν

η

και καμία αν R_1-R_2<d<R_1+R_2

Δύο σταθερά σημεία

Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Re: Δύο σταθερά σημεία

Μέλη σε σύνδεση