Μια παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

giannimani
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μια παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm

Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.
paral.png
paral.png (31.9 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μια παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μάιος 10, 2020 8:14 pm

giannimani έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm
Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.paral.png
Καλησπέρα!

Αν \rm P\equiv AO\cap HM τότε είναι γνωστό ότι το \rm P είναι το αντιδιαμετρικό του \rm A ως προς τον \rm (A,B,C).
Ο διπλός λόγος \rm \dfrac{NH}{NG}:\dfrac{OH}{OG}=\dfrac{OH/2}{\dfrac{HO}{2}-\dfrac{OH}{3}}:\dfrac{OH}{\dfrac{OH}{3}}=1.
Άρα \rm \dfrac{G'H}{G'M}:\dfrac{PH}{PM}=1\Leftrightarrow \dfrac{G'H}{G'M}=2=\dfrac{AG}{GM}\Leftrightarrow GG'\parallel AH


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μια παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μάιος 10, 2020 11:02 pm

giannimani έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm
Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.paral.png
μια παραλληλία.png
μια παραλληλία.png (37.63 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Αν P\equiv AN\cap OM\overset{HN=NO,AH\parallel OM}{\mathop{\Rightarrow }}\,AHPO παραλληλόγραμμο και με AH=2OM\Rightarrow M το μέσο της OP\overset{N\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,OH}{\mathop{\Rightarrow }}\,{G}' το βαρύκεντρο του \vartriangle OPH\Rightarrow \dfrac{{G}'M}{{G}'H}=\dfrac{1}{2}\overset{G\,\,\beta \alpha \rho \upsilon \kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ABC}{\mathop{=}}\,\dfrac{GM}{GH}\Rightarrow G{G}'\parallel AH και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μια παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μάιος 10, 2020 11:54 pm

giannimani έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm
Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.
paral.png
Είναι, HN=HO/2=\dfrac{3HG}{4}, άρα NG=HG-HN=HN/3. Με το Θ. Μενελάου στο \vartriangle GMH με διατέμνουσα \overline{G'NA} παίρνω άμεσα ότι G'H=2G'M, άρα G'H/G'M=HG/GO, οπότε από το αντίστροφο του Θ.Θαλή είναι GG' \parallel OM \parallel AH, και τελειώσαμε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες