Μέγιστο ενδο-τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μέγιστο ενδο-τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 06, 2020 11:29 am

Μέγιστο ενδο-τρίγωνο.png
Μέγιστο ενδο-τρίγωνο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές
CD είναι το ύψος και CM η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου ABC, AB=AC=8, BC<8.

Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου CMD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο ενδο-τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 07, 2020 2:59 am

μέγιστο ενδοτρίγωνο_1.png
μέγιστο ενδοτρίγωνο_1.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Από το Π. Θ. στο \vartriangle DAC έχω : {h^2} = 64 - {\left( {x + 4} \right)^2} και αφού

{\left( {DMC} \right)^2} = f(x) = \dfrac{{{x^2}{h^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2}\left( {64 - {{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right)}}{4} βρίσκω ότι η f παρουσιάζει μέγιστο

στο \boxed{{x_0} =  - 3 + \sqrt {33} } το f({x_0}) = 414 - 66\sqrt {33} και άρα :

\boxed{{{\left( {DMC} \right)}_{\max }} = \sqrt {414 - 66\sqrt {33} } } τότε μπορούμε να δείξουμε ότι \boxed{\widehat {{A_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1442
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέγιστο ενδο-τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 08, 2020 12:12 pm

Καλημέρα!
Μέγιστο ενδο-τρίγωνο.PNG
Μέγιστο ενδο-τρίγωνο.PNG (15.86 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Αν \widehat{BAC}=x< \dfrac{\pi }{3} τότε CD=8sinx και MD=8cosx-4

άρα \left ( DMC \right )=\dfrac{CD\cdot MD}{2}=..=16\left ( 2sinx\cdot cosx-sinx \right )=16\left ( sin2x-sinx \right ) .
Για την συνάρτηση  f(x)= sin2x-sinx βρίσκουμε τοπ.μέγιστο όταν cosx=\dfrac{\sqrt{33}+1}{8}.

Από τους τριγ. τύπους βρίσκουμε εύκολα τα sinx και sin2x συνεπώς και το μέγιστο εμβαδόν για το τρίγωνο DMC...ή καλύτερα

είναι \dfrac{MD+4}{8}=cosx=\dfrac{\sqrt{33}+1}{8}\Rightarrow MD=\sqrt{33}-3 δηλ, συμφωνούμε με τον Νίκο και η συνέχεια γνωστή.

Ας δούμε και την κατασκευή δηλ τον εντοπισμό του C. Αρκεί να σχηματίσουμε την \widehat{BAC}=x. Δεξιά στο σχήμα παίρνουμε γωνία 60^{0} και τμήμα OE=1 στην μία της πλευρά. Ο κύκλος (E,3) τέμνει την άλλη της πλευρά στο A. Φέρουμε την κάθετη ημιευθεία της OA στο A

που τέμνει τον κύκλο (A,4) στο C. Βρίσκουμε cosx=\dfrac{\sqrt{33}+1}{8} άρα την ζητούμενη γωνία \widehat{BAC}.
Τέλος χωρίς τον περιορισμό BC<AC έχουμε το μέγιστο έξω( ..συζυγικό :lol: ) τρίγωνο D'MC'

βρίσκοντας με όμοιο τρόπο cosy=\dfrac{\sqrt{33}-1}{8}

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο ενδο-τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 08, 2020 2:24 pm

Ο φίλτατος Γιώργος ( Μήτσιος) μου έβαλε ιδέες .
Κατασκευή ενδοτριγώνου.png
Κατασκευή ενδοτριγώνου.png (24.22 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Κατασκευή

Θεωρώ τεταρτοκύκλιο ABN ακτίνας AB = AN = 8 το μέσο M του AB και το ημικύκλιο \left( {A,4} \right).

Στην ακτίνα AN θεωρώ σημείο S με AS = 7 και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

SE προς το ημικύκλιο ,. Ο κύκλος \left( {A,5} \right) τέμνει το SE στο K. Προφανώς :

EK = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES = \sqrt {49 - 16}  = \sqrt {33} , συνεπώς \boxed{KS =  - 3 + \sqrt {33} }.

Θεωρώ σημείο D του MB με MD = KS =  - 3 + \sqrt {33} . Η κάθετη στην MB στο D τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο C.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης