Εντοπισμός κορυφής

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εντοπισμός κορυφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 27, 2020 9:42 am

Εντοπισμός  σημείου.png
Εντοπισμός σημείου.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
Τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) . Η AO τέμνει την BC στο σημείο S ,

από το οποίο φέρουμε : SP \perp AB , ST \perp AC . Φυσικά είναι : PT \parallel BC ( γιατί ; ) .

Αν R=3 και η χορδή BC έχει απόστημα d=1 , εντοπίστε τη θέση της κορυφής A ,

ώστε τα P,O,T να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος PT .

Ερώτημα bonus : Για την θέση του A που βρήκατε , εξετάστε αν : (APT)=(PTCB) .



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Εντοπισμός κορυφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Δευ Απρ 27, 2020 10:40 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 9:42 am
Εντοπισμός σημείου.pngΤρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) . Η AO τέμνει την BC στο σημείο S ,

από το οποίο φέρουμε : SP \perp AB , ST \perp AC . Φυσικά είναι : PT \parallel BC ( γιατί ; ) .

Αν R=3 και η χορδή BC έχει απόστημα d=1 , εντοπίστε τη θέση της κορυφής A ,

ώστε τα P,O,T να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος PT .

Ερώτημα bonus : Για την θέση του A που βρήκατε , εξετάστε αν : (APT)=(PTCB) .
Λίγο σύντομα για την παραλληλία .
Έστω ότι η προέκταση της AS τέμνει τον κύκλο στο σημείο D. Φέρνουμε DB και DC.
Είναι RS//DB και TS//DS. Από το θεώρημα του Θαλή είναι:

\frac{AP}{PB}=\frac{AS}{SD}

\frac{AT}{TC}=\frac{AS}{SD}
Από τις δυο αυτές σχέσεις έχουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εντοπισμός κορυφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 27, 2020 11:20 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 27, 2020 9:42 am
Εντοπισμός σημείου.pngΤρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) . Η AO τέμνει την BC στο σημείο S ,

από το οποίο φέρουμε : SP \perp AB , ST \perp AC . Φυσικά είναι : PT \parallel BC ( γιατί ; ) .

Αν R=3 και η χορδή BC έχει απόστημα d=1 , εντοπίστε τη θέση της κορυφής A ,

ώστε τα P,O,T να καταστούν συνευθειακά και υπολογίστε το μήκος του τμήματος PT .

Ερώτημα bonus : Για την θέση του A που βρήκατε , εξετάστε αν : (APT)=(PTCB) .
Έστω A' το αντιδιαμετρικό του A. Είναι, \displaystyle \frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{AS}}{{SA'}} = \frac{{AT}}{{TC}} \Leftrightarrow PT||BC
Εντοπισμός κορυφής.png
Εντοπισμός κορυφής.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Από την ομοιότητα των POS, BSA' είναι \displaystyle \frac{{PO}}{{BS}} = \frac{{PS}}{{BA'}} \Leftrightarrow \frac{{AO}}{{AS}} = \frac{{AS}}{{AA'}} \Leftrightarrow A{S^2} = 18 \Leftrightarrow \boxed{AS=3\sqrt 2}

\displaystyle \frac{{SO}}{{AS}} = \frac{1}{{{h_a}}} \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 2  - 3}}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{{h_a}}} \Leftrightarrow \boxed{{h_a} = 2 + \sqrt 2} και έτσι εντοπίζεται η κορυφή A.

\displaystyle B{M^2} = 8 \Leftrightarrow BC = 4\sqrt 2 και \displaystyle \frac{{PT}}{{BC}} = \frac{{AO}}{{AS}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \boxed{PT=4}

Bonus: \displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}4\sqrt 2 (2 + \sqrt 2 ) \Leftrightarrow \frac{{(ABC)}}{2} = 2 + 2\sqrt 2  = \frac{{PT + BC}}{2} \cdot 1 = (PTCB)

Άρα, \boxed{(APT)=(PTCB)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης