Κατασκευαστικός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευαστικός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 21, 2020 7:45 pm

Η διχοτόμος AD και το ύψος BE τριγώνου ABC τέμνονται σε σημείο K έτσι ώστε KA=KB.

Δίνεται ακόμα ότι AB=7\sqrt 3 και AD=11. α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο.

β) Επί της πλευράς AC θεωρούμε σημείο S ώστε AB=BS. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{AS}{SC}.

Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης και γι' αυτό δεν δίνεται.

edit: Ο Γιώργος Μήτσιος μάντεψε σωστά!
Το αρχικό μου ερώτημα ήταν πράγματι ο λόγος \dfrac{BD}{DC}. Βάζοντας όμως στο σχήμα το γράμμα S, αυτό δεν έβγαζε νόημα.
Παρόλ' αυτά, ξέχασα όμως να το αλλάξω :oops: Τώρα το διόρθωσα και το ερώτημα είναι ο υπολογισμός του \dfrac{AS}{SC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευαστικός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 21, 2020 10:37 pm

Κατασκευαστικός λόγος.png
Κατασκευαστικός λόγος.png (27.42 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
Αβίαστα προκύπτουν οι γωνίες το σχήματος

Εύκολα μετά :

BD = \sqrt {37} και

\boxed{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}}}

περισσότερες λεπτομέρειες αργότερα.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1326
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευαστικός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Απρ 22, 2020 12:08 am

Καλό βράδυ! Μια συνεισφορά στη λύση του Νίκου με χρήση του σχήματος.
Κατασκευαστικός λόγος.PNG
Κατασκευαστικός λόγος.PNG (14.58 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Είναι φανερό ότι 3\theta =90^ \circ \Rightarrow \theta =30^ \circ . Φέρω DF \perp AC.Τα μήκη στο σχήμα υπολογίζονται πλέον εύκολα.

Η κατασκευή μπορεί ν' αρχίσει από το τρίγωνο KAB με \widehat{K}=120^ \circ και AK=KB=7 μετά την KD=4 , την \widehat{KAE}=30^ \circ και τέλος την τομή C των BD και AE.

Το τρίγωνο BAS με \widehat{A}=60^ \circ ...BS=AB είναι βεβαίως ισόπλευρο. Από το θ. διχοτόμου και τα όμοια τρίγωνα παίρνουμε

\dfrac{b+c}{b}=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{BE}{DF}=\dfrac{21/2}{11/2}=\dfrac{21}{11}\Rightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{10}{11} οπότε \dfrac{BS}{SC}=\dfrac{c}{b-c}=10 που θαρρώ είναι ο λόγος που ζητάει ο Γιώργος.

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευαστικός λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 22, 2020 12:56 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 7:45 pm
Η διχοτόμος AD και το ύψος BE τριγώνου ABC τέμνονται σε σημείο K έτσι ώστε KA=KB.

Δίνεται ακόμα ότι AB=7\sqrt 3 και AD=11. α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο.

β) Επί της πλευράς AC θεωρούμε σημείο S ώστε AB=BS. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{AS}{SC}.

Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης και γι' αυτό δεν δίνεται.

edit: Ο Γιώργος Μήτσιος μάντεψε σωστά!
Το αρχικό μου ερώτημα ήταν πράγματι ο λόγος \dfrac{BD}{DC}. Βάζοντας όμως στο σχήμα το γράμμα S, αυτό δεν έβγαζε νόημα.
Παρόλ' αυτά, ξέχασα όμως να το αλλάξω :oops: Τώρα το διόρθωσα και το ερώτημα είναι ο υπολογισμός του \dfrac{AS}{SC}.

Γιώργο και Γιώργο ευχαριστώ που τα απλουστεύσατε όλα .



Ανάλυση

Επειδή \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _{}}} στο ορθογώνιο τρίγωνο EAK η μια οξεία γωνία του είναι διπλάσια της άλλης άρα \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 30^\circ }.

Κατασκευή :

Γράφω κύκλο \left( {K,7} \right) και εγγράφω σ αυτόν ισόπλευρο τρίγωνο ABS.

Στην ημιευθεία AK θεωρώ σημείο D, για το οποίο : KD = 4. Οι ευθείες AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD τέμνονται στο C.
Κατασκευαστικός λόγος_new.png
Κατασκευαστικός λόγος_new.png (37.82 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
Υπολογισμός λόγου .

Από το τρίγωνο KBD\,\, και το Θ συνημιτόνου έχω: DB = \sqrt {37}

Ας είναι DC = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b θα ισχύουν ταυτόχρονα :

\left\{ \begin{gathered} 
  A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC \hfill \\ 
  \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {11^2} = 7b\sqrt 3  - x\sqrt {37}  \hfill \\ 
  b = \frac{{7x\sqrt 3 }}{{\sqrt {37} }} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{{11\sqrt {37} }}{{10}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}}} .


Έτσι : \boxed{\frac{{AS}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AS}}{{AC - AS}} = 10 \Rightarrow \frac{{AS}}{{SC}} = 10}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες